Google
Câu hỏi: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình ${{z}^{2}}+4az+{{b}^{2}}+2=0$, ( $a, b$ là các tham số thực). Có bao nhiêu cặp số thực $\left( a; b \right)$ sao cho phương trình đó có hai nghiệm ${{z}_{1}}, {{z}_{2}}$ thỏa mãn ${{z}_{1}}+2i{{z}_{2}}=3+3i$ ?
A. $4$.
B. $1$.
C. $2$.
D. $3$.
A. $4$.
B. $1$.
C. $2$.
D. $3$.
Theo định lý Vi-ét, ta có : $\left\{\begin{array}{l}z_{1}+z_{2}=-4 a \\ z_{1} z_{2}=b^{2}+2\end{array}\right.$.
Theo yêu cầu bài toán, phương trình đã cho có hai nghiệm $z_{1}, z_{2}$ thỏa mãn $z_{1}+2 i z_{2}=3+3 i \Leftrightarrow z_{1}+2 i z_{2}-3-3 i=0 \Leftrightarrow\left(z_{1}+2 i z_{2}-3-3 i\right)\left(z_{2}+2 i z_{1}-3-3 i\right)=0$
$\Leftrightarrow-3 z_{1} z_{2}-(1+2 i)(3+3 i)\left(z_{1}+z_{2}\right)+18 i+2 i\left(z_{1}^{2}+z_{2}^{2}\right)=0$
$\Leftrightarrow-3\left(b^{2}+2\right)+(3-9 i)(-4 a)+18 i+2 i\left[\left(z_{1}+z_{2}\right)^{2}-2 z_{1} z_{2}\right]=0$
$\Leftrightarrow-3\left(b^{2}+2\right)+(3-9 i)(-4 a)+18 i+2 i\left[16 a^{2}-2\left(b^{2}+2\right)\right]=0$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}-3\left(b^{2}+2\right)-12 a=0 \\ 36 a+18+32 a^{2}-4\left(b^{2}+2\right)=0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}b^{2}+2=-4 a \\ 36 a+18+32 a^{2}+16 a=0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}b^{2}+2=-4 a \\ 32 a^{2}+52 a+18=0\end{array}\right.\right.\right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{b^2} + 2 = - 4a\\
\left[ \begin{array}{l}
a = - \dfrac{1}{2}\\
a = - \dfrac{9}{8}
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = - \dfrac{1}{2};b = 0}\\
{a = - \dfrac{9}{8};{b^2} = \dfrac{5}{2}}
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = - \dfrac{1}{2};b = 0}\\
{a = - \dfrac{9}{8};b = \pm \dfrac{{\sqrt {10} }}{2}}
\end{array}} \right.} \right.$
Vậy có 3 cặp số thực $(a ; b)$ thỏa mãn bài toán.
Theo yêu cầu bài toán, phương trình đã cho có hai nghiệm $z_{1}, z_{2}$ thỏa mãn $z_{1}+2 i z_{2}=3+3 i \Leftrightarrow z_{1}+2 i z_{2}-3-3 i=0 \Leftrightarrow\left(z_{1}+2 i z_{2}-3-3 i\right)\left(z_{2}+2 i z_{1}-3-3 i\right)=0$
$\Leftrightarrow-3 z_{1} z_{2}-(1+2 i)(3+3 i)\left(z_{1}+z_{2}\right)+18 i+2 i\left(z_{1}^{2}+z_{2}^{2}\right)=0$
$\Leftrightarrow-3\left(b^{2}+2\right)+(3-9 i)(-4 a)+18 i+2 i\left[\left(z_{1}+z_{2}\right)^{2}-2 z_{1} z_{2}\right]=0$
$\Leftrightarrow-3\left(b^{2}+2\right)+(3-9 i)(-4 a)+18 i+2 i\left[16 a^{2}-2\left(b^{2}+2\right)\right]=0$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}-3\left(b^{2}+2\right)-12 a=0 \\ 36 a+18+32 a^{2}-4\left(b^{2}+2\right)=0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}b^{2}+2=-4 a \\ 36 a+18+32 a^{2}+16 a=0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}b^{2}+2=-4 a \\ 32 a^{2}+52 a+18=0\end{array}\right.\right.\right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{b^2} + 2 = - 4a\\
\left[ \begin{array}{l}
a = - \dfrac{1}{2}\\
a = - \dfrac{9}{8}
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = - \dfrac{1}{2};b = 0}\\
{a = - \dfrac{9}{8};{b^2} = \dfrac{5}{2}}
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = - \dfrac{1}{2};b = 0}\\
{a = - \dfrac{9}{8};b = \pm \dfrac{{\sqrt {10} }}{2}}
\end{array}} \right.} \right.$
Vậy có 3 cặp số thực $(a ; b)$ thỏa mãn bài toán.
Đáp án D.