Google
Câu hỏi: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình ${{z}^{2}}-\left( a-3 \right)z+{{a}^{2}}+a=0$ ( $a$ là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của $a$ để phương trình có 2 nghiệm phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$ ?
A. $4$.
B. $2$.
C. $3$.
D. $1$.
A. $4$.
B. $2$.
C. $3$.
D. $1$.
Ta có $\Delta =-3{{a}^{2}}-10a+9$.
+ TH1: $\Delta \ge 0$, phương trình có 2 nghiệm ${{z}_{1,2}}=\dfrac{a-3\pm \sqrt{\Delta }}{2}$, khi đó
$\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|\Leftrightarrow \left| a-3 \right|=\left| \sqrt{\Delta } \right|\Leftrightarrow {{\left( a-3 \right)}^{2}}=\Delta \Leftrightarrow 4{{a}^{2}}+4a=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a=0 \\
& a=-1 \\
\end{aligned} \right. $. (thỏa mãn điều kiện $ \Delta \ge 0$).
+ TH2: $\Delta <0$, phương trình có 2 nghiệm ${{z}_{1,2}}=\dfrac{a-3\pm i\sqrt{-\Delta }}{2}$, khi đó
$\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|\Leftrightarrow \left| a-3 \right|=\left| i\sqrt{-\Delta } \right|\Leftrightarrow {{\left( a-3 \right)}^{2}}=-\Delta \Leftrightarrow 2{{a}^{2}}+16a-18=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a=1 \\
& a=-9 \\
\end{aligned} \right. $. (thỏa mãn điều kiện $ \Delta <0$).
Vậy có 4 giá trị của $a$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
+ TH1: $\Delta \ge 0$, phương trình có 2 nghiệm ${{z}_{1,2}}=\dfrac{a-3\pm \sqrt{\Delta }}{2}$, khi đó
$\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|\Leftrightarrow \left| a-3 \right|=\left| \sqrt{\Delta } \right|\Leftrightarrow {{\left( a-3 \right)}^{2}}=\Delta \Leftrightarrow 4{{a}^{2}}+4a=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a=0 \\
& a=-1 \\
\end{aligned} \right. $. (thỏa mãn điều kiện $ \Delta \ge 0$).
+ TH2: $\Delta <0$, phương trình có 2 nghiệm ${{z}_{1,2}}=\dfrac{a-3\pm i\sqrt{-\Delta }}{2}$, khi đó
$\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|\Leftrightarrow \left| a-3 \right|=\left| i\sqrt{-\Delta } \right|\Leftrightarrow {{\left( a-3 \right)}^{2}}=-\Delta \Leftrightarrow 2{{a}^{2}}+16a-18=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a=1 \\
& a=-9 \\
\end{aligned} \right. $. (thỏa mãn điều kiện $ \Delta <0$).
Vậy có 4 giá trị của $a$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án A.