Google
Câu hỏi: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình ${z^2-2(m+1) z+m^2=0({\text{m}}}$ là tham số thực ). Có bao nhiêu giá trị của ${(P)}$ để phương trình đó có nghiệm ${z_0}$ thỏa mãn ${\left|z_0\right|=8}$.
A. 4 .
B. ${ 3}$.
C. 2 .
D. 1 .
A. 4 .
B. ${ 3}$.
C. 2 .
D. 1 .
Vì ${\left|z_{0}\right|=8}$ nên đặt ${z_{0}=8(\cos \varphi+i \sin \varphi)}$, với ${\varphi \in \mathbb{R}}$
Phương trình đã cho nhận ${z_{0}}$ là nghiệm nên ta có:
${64(\cos 2 \varphi+i \sin \varphi)-16(m+1)(\cos \varphi+i \sin \varphi)+m^{2}=0 .}$
Tách phần thực và phần ảo ta có:
$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
64\cos 2\varphi -16(m+1)\cos \varphi +{{m}^{2}}=0 \left( 1 \right) \\
64\sin 2\varphi -16(m+1)\sin \varphi =0 \left( 2 \right) \\
\end{array} \right.$
${(2) \Leftrightarrow \sin \varphi[4 \cos \varphi-(m+1)]=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\sin \varphi=0 \\ \cos \varphi=\dfrac{m+1}{4}\end{array}\right.}$
* Nếu ${\sin \varphi=0}$ thì ${\left\{\begin{array}{l}\cos \varphi=\pm 1 \\ \cos 2 \varphi=1\end{array}\right.}$, thay vào (1) ta có:
${64 \pm 16(m+1)+m^{2}=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m^{2}+16 m+80=0({vn}) \\ m^{2}-16 m+48=0(2 \text { nghiem })\end{array} .\right.}$ Suy ra có 2 giá trị ${m}$
* Nếu ${\cos \varphi=\dfrac{m+1}{4}}$ thì ${\cos 2 \varphi=2\left(\dfrac{m+1}{4}\right)^{2}-1=\dfrac{1}{8}(m+1)^{2}-1}$, thay vào (1) ta có:
${64\left[\dfrac{1}{8}(m+1)^{2}-1\right]-16(m+1) \cdot \dfrac{m+1}{4}+m^{2}=0}$
Đặt ${n=m+1}$, ta có:
${64\left[\dfrac{1}{8} n^{2}-1\right]-16 n \cdot \dfrac{n}{4}+(n-1)^{2}=0}$
${\Leftrightarrow 8 n^{2}-64-4 n^{2}+(n-1)^{2}=0}$
${\Leftrightarrow 5 n^{2}-2 n-63=0}$ (Có 2 nghiệm). Suy ra có 2 giá trị ${m}$.
Dễ thấy các giá trị của ${m}$ tìm được ở trên không trùng nhau. Vậy có 4 giá trị của ${m}$ thỏa mãn điều kiện bài toán.
Phương trình đã cho nhận ${z_{0}}$ là nghiệm nên ta có:
${64(\cos 2 \varphi+i \sin \varphi)-16(m+1)(\cos \varphi+i \sin \varphi)+m^{2}=0 .}$
Tách phần thực và phần ảo ta có:
$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
64\cos 2\varphi -16(m+1)\cos \varphi +{{m}^{2}}=0 \left( 1 \right) \\
64\sin 2\varphi -16(m+1)\sin \varphi =0 \left( 2 \right) \\
\end{array} \right.$
${(2) \Leftrightarrow \sin \varphi[4 \cos \varphi-(m+1)]=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\sin \varphi=0 \\ \cos \varphi=\dfrac{m+1}{4}\end{array}\right.}$
* Nếu ${\sin \varphi=0}$ thì ${\left\{\begin{array}{l}\cos \varphi=\pm 1 \\ \cos 2 \varphi=1\end{array}\right.}$, thay vào (1) ta có:
${64 \pm 16(m+1)+m^{2}=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m^{2}+16 m+80=0({vn}) \\ m^{2}-16 m+48=0(2 \text { nghiem })\end{array} .\right.}$ Suy ra có 2 giá trị ${m}$
* Nếu ${\cos \varphi=\dfrac{m+1}{4}}$ thì ${\cos 2 \varphi=2\left(\dfrac{m+1}{4}\right)^{2}-1=\dfrac{1}{8}(m+1)^{2}-1}$, thay vào (1) ta có:
${64\left[\dfrac{1}{8}(m+1)^{2}-1\right]-16(m+1) \cdot \dfrac{m+1}{4}+m^{2}=0}$
Đặt ${n=m+1}$, ta có:
${64\left[\dfrac{1}{8} n^{2}-1\right]-16 n \cdot \dfrac{n}{4}+(n-1)^{2}=0}$
${\Leftrightarrow 8 n^{2}-64-4 n^{2}+(n-1)^{2}=0}$
${\Leftrightarrow 5 n^{2}-2 n-63=0}$ (Có 2 nghiệm). Suy ra có 2 giá trị ${m}$.
Dễ thấy các giá trị của ${m}$ tìm được ở trên không trùng nhau. Vậy có 4 giá trị của ${m}$ thỏa mãn điều kiện bài toán.
Đáp án A.