Google
Câu hỏi: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình ${{z}^{2}}-2\left( m+1 \right)z+{{m}^{2}}-1=0$ ( $m$ là tham số thực). Tổng các giá trị của $m$ để phương trình có nghiệm ${{z}_{o}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{o}} \right|=5$ là
A. $10$.
B. $10-\sqrt{26}$.
C. $10+2\sqrt{11}$.
D. $10-2\sqrt{26}$.
A. $10$.
B. $10-\sqrt{26}$.
C. $10+2\sqrt{11}$.
D. $10-2\sqrt{26}$.
Đặt $w=x+yi, \left( x,y\in \mathbb{R} \right)$ theo bài ra ta có ${{z}_{1}}=w+2i=x+\left( y+2 \right)i$, ${{z}_{2}}=2w-3=2x-3+2yi$. Do ${{z}_{1}}, {{z}_{2}}$ là hai nghiệm phức của phương trình nên $\overline{{{z}_{1}}}={{z}_{2}}$
Phương trình ${{z}^{2}}-2\left( m+1 \right)z+{{m}^{2}}-1=0$ $\left( 1 \right)$ có ${\Delta }'=2m+2$.
+ Trường hợp 1: ${\Delta }'\ge 0\Leftrightarrow m\ge -1$.
Phương trình $\left( 1 \right)$ có nghiệm ${{z}_{o}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{o}} \right|=5$ suy ra ${{z}_{o}}=5$ hoặc ${{z}_{o}}=-5$.
Nếu ${{z}_{o}}=5$ suy ra $25-10\left( m+1 \right)+{{m}^{2}}-1=0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-10m+14=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=5+\sqrt{11} \\
& m=5-\sqrt{11} \\
\end{aligned} \right.$, (chọn).
Nếu ${{z}_{o}}=-5$ suy ra $25+10\left( m+1 \right)+{{m}^{2}}-1=0\Leftrightarrow {{m}^{2}}+10m+34=0$ vô nghiệm.
+ Trường hợp 2: ${\Delta }'<0\Leftrightarrow m<-1$. Khi đó phương trình $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm phức ${{z}_{1}};{{z}_{2}}$ thỏa mãn ${{z}_{o}}={{z}_{1}}=\overline{{{z}_{2}}}$.
Suy ra $\left| {{z}_{o}} \right|=5\Leftrightarrow {{z}_{o}}.\overline{{{z}_{o}}}=25\Leftrightarrow {{z}_{1}}.{{z}_{2}}=25\Leftrightarrow {{m}^{2}}-1=25\Leftrightarrow m=\pm \sqrt{26}$.
Kết hợp điều kiện $m<-1$ suy ra $m=-\sqrt{26}$
Vậy tổng các giá trị là $5+\sqrt{11}+5-\sqrt{11}-\sqrt{26}=10-\sqrt{26}$
Phương trình ${{z}^{2}}-2\left( m+1 \right)z+{{m}^{2}}-1=0$ $\left( 1 \right)$ có ${\Delta }'=2m+2$.
+ Trường hợp 1: ${\Delta }'\ge 0\Leftrightarrow m\ge -1$.
Phương trình $\left( 1 \right)$ có nghiệm ${{z}_{o}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{o}} \right|=5$ suy ra ${{z}_{o}}=5$ hoặc ${{z}_{o}}=-5$.
Nếu ${{z}_{o}}=5$ suy ra $25-10\left( m+1 \right)+{{m}^{2}}-1=0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-10m+14=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=5+\sqrt{11} \\
& m=5-\sqrt{11} \\
\end{aligned} \right.$, (chọn).
Nếu ${{z}_{o}}=-5$ suy ra $25+10\left( m+1 \right)+{{m}^{2}}-1=0\Leftrightarrow {{m}^{2}}+10m+34=0$ vô nghiệm.
+ Trường hợp 2: ${\Delta }'<0\Leftrightarrow m<-1$. Khi đó phương trình $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm phức ${{z}_{1}};{{z}_{2}}$ thỏa mãn ${{z}_{o}}={{z}_{1}}=\overline{{{z}_{2}}}$.
Suy ra $\left| {{z}_{o}} \right|=5\Leftrightarrow {{z}_{o}}.\overline{{{z}_{o}}}=25\Leftrightarrow {{z}_{1}}.{{z}_{2}}=25\Leftrightarrow {{m}^{2}}-1=25\Leftrightarrow m=\pm \sqrt{26}$.
Kết hợp điều kiện $m<-1$ suy ra $m=-\sqrt{26}$
Vậy tổng các giá trị là $5+\sqrt{11}+5-\sqrt{11}-\sqrt{26}=10-\sqrt{26}$
Đáp án B.