Google
Câu hỏi: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình ${{z}^{2}}-2\left( 2m-1 \right)z+4{{m}^{2}}-5m=0$ ( $m$ là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị của tham số $m$ để phương trình có nghiệm ${{z}_{0}}$ thoả mãn $\left| {{z}_{0}}^{2}+\left( 1-4m \right){{z}_{0}}+4{{m}^{2}}-5m-3 \right|=10$ ?
A. $1$.
B. $2$.
C. $4$.
D. $3$.
A. $1$.
B. $2$.
C. $4$.
D. $3$.
Cách 1: Ta có ${\Delta }'=m+1$.
Trường hợp 1: $m+1\ge 0\Leftrightarrow m\ge -1$.
Khi đó theo bài ra, phương trình đã cho có nghiệm thực ${{z}_{0}}$ thoả mãn $\left| {{z}_{0}}+3 \right|=10\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{z}_{0}}=7 \\
& {{z}_{0}}=-13 \\
\end{aligned} \right.$.
Từ đó suy ra $\left[ \begin{aligned}
& {{7}^{2}}-2\left( 2m-1 \right)7+4{{m}^{2}}-5m=0 \\
& {{\left( -13 \right)}^{2}}-2\left( 2m-1 \right)\left( -13 \right)+4{{m}^{2}}-5m=0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 4{{m}^{2}}-33m+63=0 \\
& 4{{m}^{2}}-47m+143=0 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=3\text{ }\left( tm \right) \\
& m=\dfrac{21}{4}\left( tm \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Trường hợp 2: $m+1<0\Leftrightarrow m<-1$.
Khi đó phương trình đã cho có hai nghiệm phức là ${{z}_{0}}$ và ${{\bar{z}}_{0}}$ và thoả mãn $\left| {{z}_{0}}+3 \right|=10$
$\Leftrightarrow \left( {{z}_{0}}+3 \right)\left( {{{\bar{z}}}_{0}}+3 \right)=100\Leftrightarrow {{\left| {{z}_{0}} \right|}^{2}}+3\left( {{z}_{0}}+{{{\bar{z}}}_{0}} \right)+9=100\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-5m+3.2\left( 2m-1 \right)-91=0$
$\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}+7m-97=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=-\dfrac{7+\sqrt{1601}}{8}\left( tm \right) \\
& m=-\dfrac{7-\sqrt{1601}}{8}\left( ktm \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy có 3 giá trị của tham số $m$ thoả mãn yêu cầu bài toán.
Cách 2: Ta có ${{z}^{2}}-2\left( 2m-1 \right)z+4{{m}^{2}}-5m=0\Leftrightarrow {{\left( z-2m+1 \right)}^{2}}=m+1\left( 1 \right)$.
Trường hợp 1: $m+1\ge 0\Leftrightarrow m\ge -1$.
Khi đó $\left( 1 \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& z=2m-1+\sqrt{m+1} \\
& z=2m-1-\sqrt{m+1} \\
\end{aligned} \right.$.
Theo bài ra, phương trình đã cho có nghiệm ${{z}_{0}}$ thoả mãn $\left| {{z}_{0}}+3 \right|=10$.
Do đó $\left[ \begin{aligned}
& \left| 2m+2+\sqrt{m+1} \right|=10 \\
& \left| 2m+2-\sqrt{m+1} \right|=10 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=3\text{ }\left( tm \right) \\
& m=\dfrac{21}{4}\left( tm \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Trường hợp 2: $m+1<0\Leftrightarrow m<-1$
Khi đó $\left( 1 \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& z=2m-1+i\sqrt{\left| m+1 \right|} \\
& z=2m-1-i\sqrt{\left| m+1 \right|} \\
\end{aligned} \right.$.
Theo bài ra, phương trình đã cho có nghiệm ${{z}_{0}}$ thoả mãn $\left| {{z}_{0}}+3 \right|=10$.
Do đó $\left| 2m+2+i\sqrt{\left| m+1 \right|} \right|=10\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}+8m+4-m-1=100\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}+7m-97=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=-\dfrac{7+\sqrt{1601}}{8}\left( tm \right) \\
& m=-\dfrac{7-\sqrt{1601}}{8}\left( ktm \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy có 3 giá trị của tham số $m$ thoả mãn yêu cầu bài toán.
Trường hợp 1: $m+1\ge 0\Leftrightarrow m\ge -1$.
Khi đó theo bài ra, phương trình đã cho có nghiệm thực ${{z}_{0}}$ thoả mãn $\left| {{z}_{0}}+3 \right|=10\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{z}_{0}}=7 \\
& {{z}_{0}}=-13 \\
\end{aligned} \right.$.
Từ đó suy ra $\left[ \begin{aligned}
& {{7}^{2}}-2\left( 2m-1 \right)7+4{{m}^{2}}-5m=0 \\
& {{\left( -13 \right)}^{2}}-2\left( 2m-1 \right)\left( -13 \right)+4{{m}^{2}}-5m=0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 4{{m}^{2}}-33m+63=0 \\
& 4{{m}^{2}}-47m+143=0 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=3\text{ }\left( tm \right) \\
& m=\dfrac{21}{4}\left( tm \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Trường hợp 2: $m+1<0\Leftrightarrow m<-1$.
Khi đó phương trình đã cho có hai nghiệm phức là ${{z}_{0}}$ và ${{\bar{z}}_{0}}$ và thoả mãn $\left| {{z}_{0}}+3 \right|=10$
$\Leftrightarrow \left( {{z}_{0}}+3 \right)\left( {{{\bar{z}}}_{0}}+3 \right)=100\Leftrightarrow {{\left| {{z}_{0}} \right|}^{2}}+3\left( {{z}_{0}}+{{{\bar{z}}}_{0}} \right)+9=100\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-5m+3.2\left( 2m-1 \right)-91=0$
$\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}+7m-97=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=-\dfrac{7+\sqrt{1601}}{8}\left( tm \right) \\
& m=-\dfrac{7-\sqrt{1601}}{8}\left( ktm \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy có 3 giá trị của tham số $m$ thoả mãn yêu cầu bài toán.
Cách 2: Ta có ${{z}^{2}}-2\left( 2m-1 \right)z+4{{m}^{2}}-5m=0\Leftrightarrow {{\left( z-2m+1 \right)}^{2}}=m+1\left( 1 \right)$.
Trường hợp 1: $m+1\ge 0\Leftrightarrow m\ge -1$.
Khi đó $\left( 1 \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& z=2m-1+\sqrt{m+1} \\
& z=2m-1-\sqrt{m+1} \\
\end{aligned} \right.$.
Theo bài ra, phương trình đã cho có nghiệm ${{z}_{0}}$ thoả mãn $\left| {{z}_{0}}+3 \right|=10$.
Do đó $\left[ \begin{aligned}
& \left| 2m+2+\sqrt{m+1} \right|=10 \\
& \left| 2m+2-\sqrt{m+1} \right|=10 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=3\text{ }\left( tm \right) \\
& m=\dfrac{21}{4}\left( tm \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Trường hợp 2: $m+1<0\Leftrightarrow m<-1$
Khi đó $\left( 1 \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& z=2m-1+i\sqrt{\left| m+1 \right|} \\
& z=2m-1-i\sqrt{\left| m+1 \right|} \\
\end{aligned} \right.$.
Theo bài ra, phương trình đã cho có nghiệm ${{z}_{0}}$ thoả mãn $\left| {{z}_{0}}+3 \right|=10$.
Do đó $\left| 2m+2+i\sqrt{\left| m+1 \right|} \right|=10\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}+8m+4-m-1=100\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}+7m-97=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=-\dfrac{7+\sqrt{1601}}{8}\left( tm \right) \\
& m=-\dfrac{7-\sqrt{1601}}{8}\left( ktm \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy có 3 giá trị của tham số $m$ thoả mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án D.