Google
Câu hỏi: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình $z^2-2(2 m+1) z+4 m^2=0(m$ là tham số thực $)$. Có bao nhiêu giá trị của $m$ để phương trình đó có nghiệm $z_0$ thỏa mãn $\left|z_0\right|=4$ ?
A. 3 .
B. 1 .
C. 4 .
D. 2 .
A. 3 .
B. 1 .
C. 4 .
D. 2 .
Phương trình $z^2-2(2 m+1) z+4 m^2=0(*)$. Ta có $\Delta^{\prime}=(2 m+1)^2-4 m^2=4 m+1$.
+ Trường hợp 1: Nếu $4 m+1 \geq 0 \Leftrightarrow m \geq-\dfrac{1}{4}$ thì phương trình $(*)$ có nghiệm thực nên
$\left|z_0\right|=4 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}z_0=4 \\ z_0=-4\end{array}\right.$
Với $z_0=4$ thay vào phương trình $(*)$ ta được:
$4^2-2(2 m+1) \cdot 4+4 m^2=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m=2+\sqrt{2} \\ m=2-\sqrt{2}\end{array}\left(\right.\right.$ thoả $\left.m \geq-\dfrac{1}{4}\right)$.
Với $z_0=-4$ thay vào phương trình $(*)$ ta được:
$(-4)^2+8(2 m+1)+4 m^2=0$, phương trình vô nghiệm.
+ Trường hợp 2: Nếu $4 m+1<0 \Leftrightarrow m<-\dfrac{1}{4}$ thì phương trình (*) có hai nghiệm phức là $z=2 m+1+i \sqrt{-4 m-1}$ và $z=2 m+1-i \sqrt{-4 m-1}$
Khi đó $\left|z_0\right|=4 \Leftrightarrow(2 m+1)^2-4 m-1=16 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m=2 \\ m=-2\end{array}\right.$, kết hợp với $m<-\dfrac{1}{4}$ ta được $m=-2$.
Vậy có 3 giá trị $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Giải trương hơp 2 theo cách khác
+ Trường hợp 2 : Nếu $4 m+1<0 \Leftrightarrow m<-\dfrac{1}{4}$ thì $\mathrm{PT}(*)$ có hai nghiệm phức là $z_0$ và $\overline{Z_0}$.
Ta có: $z_0 \cdot \overline{z_0}=\left|z_0\right|^2 \Leftrightarrow 4 m^2=16 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m=2 \\ m=-2\end{array}\right.$, kết hợp với $m<-\dfrac{1}{4}$ ta được $m=-2$.
+ Trường hợp 1: Nếu $4 m+1 \geq 0 \Leftrightarrow m \geq-\dfrac{1}{4}$ thì phương trình $(*)$ có nghiệm thực nên
$\left|z_0\right|=4 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}z_0=4 \\ z_0=-4\end{array}\right.$
Với $z_0=4$ thay vào phương trình $(*)$ ta được:
$4^2-2(2 m+1) \cdot 4+4 m^2=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m=2+\sqrt{2} \\ m=2-\sqrt{2}\end{array}\left(\right.\right.$ thoả $\left.m \geq-\dfrac{1}{4}\right)$.
Với $z_0=-4$ thay vào phương trình $(*)$ ta được:
$(-4)^2+8(2 m+1)+4 m^2=0$, phương trình vô nghiệm.
+ Trường hợp 2: Nếu $4 m+1<0 \Leftrightarrow m<-\dfrac{1}{4}$ thì phương trình (*) có hai nghiệm phức là $z=2 m+1+i \sqrt{-4 m-1}$ và $z=2 m+1-i \sqrt{-4 m-1}$
Khi đó $\left|z_0\right|=4 \Leftrightarrow(2 m+1)^2-4 m-1=16 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m=2 \\ m=-2\end{array}\right.$, kết hợp với $m<-\dfrac{1}{4}$ ta được $m=-2$.
Vậy có 3 giá trị $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Giải trương hơp 2 theo cách khác
+ Trường hợp 2 : Nếu $4 m+1<0 \Leftrightarrow m<-\dfrac{1}{4}$ thì $\mathrm{PT}(*)$ có hai nghiệm phức là $z_0$ và $\overline{Z_0}$.
Ta có: $z_0 \cdot \overline{z_0}=\left|z_0\right|^2 \Leftrightarrow 4 m^2=16 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m=2 \\ m=-2\end{array}\right.$, kết hợp với $m<-\dfrac{1}{4}$ ta được $m=-2$.
Đáp án A.