Google
Câu hỏi: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình $\left( z-1-a \right)\left( z+1-a \right)=6z$ ( $a$ là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị của $a$ để phương trình đó có hai nghiệm ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ thỏa mãn ${{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}=42$ ?
A. $1$.
B. $2$.
C. $3$.
D. $4$.
A. $1$.
B. $2$.
C. $3$.
D. $4$.
Ta có: $\left( z-1-a \right)\left( z+1-a \right)=6z\Leftrightarrow {{z}^{2}}-2\left( a+3 \right)z+{{a}^{2}}-1=0$ $\left( 1 \right)$ có ${\Delta }'=6a+10$.
+ Trường hợp 1: ${\Delta }'\ge 0\Leftrightarrow a\ge -\dfrac{5}{3}$. Khi đó phương trình $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm thực ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$.
Suy ra ${{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}=42\Leftrightarrow {{\left[ 2\left( a+3 \right) \right]}^{2}}-2\left( {{a}^{2}}-1 \right)=42\Leftrightarrow 2{{a}^{2}}+24a-4=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a=-6+\sqrt{38} \\
& a=-6-\sqrt{38} \\
\end{aligned} \right.$.
Kết hợp với điều kiện $a\ge -\dfrac{5}{3}$, nhận $a=-6+\sqrt{38}$.
+ Trường hợp 2: ${\Delta }'<0\Leftrightarrow a<-\dfrac{5}{3}$. Khi đó phương trình $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm phức ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ thỏa mãn ${{z}_{1}}=\overline{{{z}_{2}}}$.
Suy ra ${{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}=42\Leftrightarrow {{z}_{1}}\overline{{{z}_{1}}}+{{z}_{2}}\overline{{{z}_{2}}}=42\Leftrightarrow {{z}_{1}}{{z}_{2}}=21\Leftrightarrow {{a}^{2}}-22=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a=\sqrt{22} \\
& a=-\sqrt{22} \\
\end{aligned} \right.$.
Kết hợp với điều kiện $a<-\dfrac{5}{3}$, nhận $a=-\sqrt{22}$.
Vậy có $2$ giá trị của $a$ thỏa mãn.
+ Trường hợp 1: ${\Delta }'\ge 0\Leftrightarrow a\ge -\dfrac{5}{3}$. Khi đó phương trình $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm thực ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$.
Suy ra ${{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}=42\Leftrightarrow {{\left[ 2\left( a+3 \right) \right]}^{2}}-2\left( {{a}^{2}}-1 \right)=42\Leftrightarrow 2{{a}^{2}}+24a-4=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a=-6+\sqrt{38} \\
& a=-6-\sqrt{38} \\
\end{aligned} \right.$.
Kết hợp với điều kiện $a\ge -\dfrac{5}{3}$, nhận $a=-6+\sqrt{38}$.
+ Trường hợp 2: ${\Delta }'<0\Leftrightarrow a<-\dfrac{5}{3}$. Khi đó phương trình $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm phức ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ thỏa mãn ${{z}_{1}}=\overline{{{z}_{2}}}$.
Suy ra ${{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}=42\Leftrightarrow {{z}_{1}}\overline{{{z}_{1}}}+{{z}_{2}}\overline{{{z}_{2}}}=42\Leftrightarrow {{z}_{1}}{{z}_{2}}=21\Leftrightarrow {{a}^{2}}-22=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a=\sqrt{22} \\
& a=-\sqrt{22} \\
\end{aligned} \right.$.
Kết hợp với điều kiện $a<-\dfrac{5}{3}$, nhận $a=-\sqrt{22}$.
Vậy có $2$ giá trị của $a$ thỏa mãn.
Đáp án B.