Google
Câu hỏi: Trên sợi dây đang có sóng dừng ổn định với chu kỳ T. Các điểm A, B, C ở trên dây sao cho A và B là hai điểm gần nhau nhất dao động biên độ cực đại ngược pha với nhau. Biết khoảng cách gần nhất giữa A và C là 35 cm, khoảng cách gần nhất và xa nhất giữa A và B lần lượt là 20 cm và $10\sqrt{5}\ cm$. Tại thời điểm ${{t}_{0}}=0$, vận tốc của điểm A bằng $50\pi \ cm/s$ và đang tăng đến thời điểm ${{t}_{1}}=T/4$ thì lần đầu đạt giá trị $-50\pi \sqrt{3}\ cm/s$. Ba điểm A, B, C thẳng hàng lần thứ 2019 vào thời điểm t gần nhất với giá trị:
A. 504,75 s.
B. 100,95 s.
C. 504,25 s.
D. 100,945 s.
A. 504,75 s.
B. 100,95 s.
C. 504,25 s.
D. 100,945 s.
A và B dao động ngược pha $\Rightarrow $ A và B nằm ở hai bó sóng cạnh nhau.
Khoảng cách gần nhất giữa AB là $\lambda /2=20\ cm\Rightarrow \lambda =40\ cm.$
Gọi ${{A}_{b}}$ là biên độ của bụng sóng. Khoảng cách xa nhất giữa A và B là $2\sqrt{{{10}^{2}}+A_{b}^{2}}=10\sqrt{5}\Rightarrow {{A}_{b}}=5\ cm.$
C cách A 35 cm $\Rightarrow $ C cách nút sóng gần nó nhất đoạn $d=5\ cm.$
Biên độ dao động tại C: ${{A}_{C}}=A\sin \dfrac{2\pi d}{\lambda }=2,5\sqrt{2}\ cm.$
Thời điểm ban đầu ${{v}_{A}}=50\pi \ cm/s$ và thời điểm $t=T/4$ có ${{v}_{A}}=-50\pi \sqrt{3}\ cm/s$ được biểu diễn như hình vẽ.
Ta có ${{\left( \dfrac{50\pi }{\omega A} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{50\pi \sqrt{3}}{\omega A} \right)}^{2}}=1\Rightarrow \omega =20\pi \left( rad/s \right)\Rightarrow T=0,1s$.
Phương trình dao động của ba điểm A, B, C là: $\begin{aligned}
& {{x}_{A}}=5\cos \left( 20\pi t-\dfrac{\pi }{6} \right)cm; \\
& {{x}_{B}}=5\cos \left( 20\pi t-\dfrac{\pi }{6}+\pi \right)cm=5\cos \left( 20\pi t+\dfrac{5\pi }{6} \right)cm; \\
& {{x}_{C}}=2,5\sqrt{2}\cos \left( 20\pi t-\dfrac{\pi }{6}-\dfrac{2\pi .35}{40} \right)cm=2,5\sqrt{2}\cos \left( 20\pi t-\dfrac{23\pi }{12} \right)cm \\
\end{aligned}$
Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi ${{x}_{B}}=\dfrac{{{x}_{A}}+{{x}_{C}}}{2}\Rightarrow {{x}_{A}}+{{x}_{C}}-{{x}_{B}}=0\Rightarrow x=2,5\sqrt{2}c\left( 20\pi t+\dfrac{7\pi }{12} \right)=0$.
Trong 1 chu kỳ $x=0$ hai lần. Sau thời gian $t=1009T$ có 2018 lần $x=0$ và đi tới vị trí ban đầu.
Thời điểm $x=0$ lần thứ 2019 là $1009T+\dfrac{11}{24}T=100,945\ s.$
Khoảng cách gần nhất giữa AB là $\lambda /2=20\ cm\Rightarrow \lambda =40\ cm.$
Gọi ${{A}_{b}}$ là biên độ của bụng sóng. Khoảng cách xa nhất giữa A và B là $2\sqrt{{{10}^{2}}+A_{b}^{2}}=10\sqrt{5}\Rightarrow {{A}_{b}}=5\ cm.$
C cách A 35 cm $\Rightarrow $ C cách nút sóng gần nó nhất đoạn $d=5\ cm.$
Biên độ dao động tại C: ${{A}_{C}}=A\sin \dfrac{2\pi d}{\lambda }=2,5\sqrt{2}\ cm.$
Thời điểm ban đầu ${{v}_{A}}=50\pi \ cm/s$ và thời điểm $t=T/4$ có ${{v}_{A}}=-50\pi \sqrt{3}\ cm/s$ được biểu diễn như hình vẽ.
Ta có ${{\left( \dfrac{50\pi }{\omega A} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{50\pi \sqrt{3}}{\omega A} \right)}^{2}}=1\Rightarrow \omega =20\pi \left( rad/s \right)\Rightarrow T=0,1s$.
Phương trình dao động của ba điểm A, B, C là: $\begin{aligned}
& {{x}_{A}}=5\cos \left( 20\pi t-\dfrac{\pi }{6} \right)cm; \\
& {{x}_{B}}=5\cos \left( 20\pi t-\dfrac{\pi }{6}+\pi \right)cm=5\cos \left( 20\pi t+\dfrac{5\pi }{6} \right)cm; \\
& {{x}_{C}}=2,5\sqrt{2}\cos \left( 20\pi t-\dfrac{\pi }{6}-\dfrac{2\pi .35}{40} \right)cm=2,5\sqrt{2}\cos \left( 20\pi t-\dfrac{23\pi }{12} \right)cm \\
\end{aligned}$
Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi ${{x}_{B}}=\dfrac{{{x}_{A}}+{{x}_{C}}}{2}\Rightarrow {{x}_{A}}+{{x}_{C}}-{{x}_{B}}=0\Rightarrow x=2,5\sqrt{2}c\left( 20\pi t+\dfrac{7\pi }{12} \right)=0$.
Trong 1 chu kỳ $x=0$ hai lần. Sau thời gian $t=1009T$ có 2018 lần $x=0$ và đi tới vị trí ban đầu.
Thời điểm $x=0$ lần thứ 2019 là $1009T+\dfrac{11}{24}T=100,945\ s.$
Đáp án D.