Google
Câu hỏi: Trên mặt thoáng của một chất lỏng có hai nguồn sóng kết hợp P và Q cách nhau 19 cm, dao động theo phương thẳng đứng với phương trình là ${{u}_{P}}=~{{u}_{Q}}=4\cos 20\pi t\left( cm \right).$ Tốc độ truyền sóng trên mặt chất lỏng là 40 cm/s. Gọi M là điểm trên bề mặt chất lỏng gần đường thẳng PQ nhất sao cho PM < QM và phần tử chất lỏng tại M dao động với biên độ cực đại và cùng pha với nguồn P. Khoảng cách MQ bằng
A. 20 cm.
B. 4 cm.
C. 16 cm.
D. 8 cm.
A. 20 cm.
B. 4 cm.
C. 16 cm.
D. 8 cm.
Bước sóng: $\lambda =vT=4\text{ (cm)}$
Phần tử tại M dao động với biên độ cực đại nên: $QM-PM=k\lambda \Rightarrow PM=QM-k\lambda $
Và phần tử tại M dao động cùng pha với nguồn P nên cũng đồng pha với Q: $QM=m\lambda $
$-PQ<k\lambda <PQ\Rightarrow -19<k.4<19\Rightarrow k=-4,...,4$
Ta có: $PH+QH=PQ\Leftrightarrow \sqrt{Q{{M}^{2}}-{{d}^{2}}}+\sqrt{{{\left( QM-k\lambda \right)}^{2}}-{{d}^{2}}}=PQ$
$\Leftrightarrow Q{{M}^{2}}-{{d}^{2}}+P{{Q}^{2}}-2PQ\sqrt{Q{{M}^{2}}-{{d}^{2}}}={{\left( QM-k\lambda \right)}^{2}}-{{d}^{2}}$
$\Leftrightarrow P{{Q}^{2}}-2PQ\sqrt{Q{{M}^{2}}-{{d}^{2}}}=-2k.\lambda .QM+{{k}^{2}}{{\lambda }^{2}}$
$\Leftrightarrow 2PQ\sqrt{Q{{M}^{2}}-{{d}^{2}}}=P{{Q}^{2}}+2k.\lambda .QM-{{k}^{2}}{{\lambda }^{2}}$
$\Leftrightarrow 4P{{Q}^{2}}\left( Q{{M}^{2}}-{{d}^{2}} \right)=4{{k}^{2}}{{\lambda }^{2}}Q{{M}^{2}}+{{\left( P{{Q}^{2}}-{{k}^{2}}{{\lambda }^{2}} \right)}^{2}}+2.2k.\lambda .QM\left( P{{Q}^{2}}-{{k}^{2}}{{\lambda }^{2}} \right)$
$\Leftrightarrow {{d}^{2}}=\dfrac{Q{{M}^{2}}.4.P{{Q}^{2}}-4{{k}^{2}}{{\lambda }^{2}}Q{{M}^{2}}-{{\left( P{{Q}^{2}}-{{k}^{2}}{{\lambda }^{2}} \right)}^{2}}-4k.\lambda .QM\left( P{{Q}^{2}}-{{k}^{2}}{{\lambda }^{2}} \right)}{4P{{Q}^{2}}}$
$\Leftrightarrow {{d}^{2}}=\dfrac{Q{{M}^{2}}\left( 4P{{Q}^{2}}-4{{k}^{2}}{{\lambda }^{2}} \right)-\left( P{{Q}^{2}}-{{k}^{2}}{{\lambda }^{2}} \right)-4k.\lambda .QM\left( P{{Q}^{2}}-{{k}^{2}}{{\lambda }^{2}} \right)}{4P{{Q}^{2}}}$
d đạt giá trị min khi $\left\{ Q{{M}^{2}}\left( 4P{{Q}^{2}}-4{{k}^{2}}{{\lambda }^{2}} \right)-\left( P{{Q}^{2}}-{{k}^{2}}{{\lambda }^{2}} \right)-4k.\lambda .QM\left( P{{Q}^{2}}-{{k}^{2}}{{\lambda }^{2}} \right) \right\}$
đạt giá trị nhỏ nhất $\Rightarrow QM=\dfrac{4k\lambda \left( P{{Q}^{2}}-{{k}^{2}}{{\lambda }^{2}} \right)}{2\left( 4P{{Q}^{2}}-4{{k}^{2}}{{\lambda }^{2}} \right)}=\dfrac{4k\lambda }{8}$
Với k = 1: $\Rightarrow Q{{M}_{\min }}=2$ nhưng $QM=m\lambda $ và $QM>\dfrac{PQ}{2}+\dfrac{\lambda }{2}=11,5$
$\Rightarrow $ Chọn $QM=12\ cm\Rightarrow PM=8\ \text{(cm)}\Rightarrow d=3,05\text{ (cm)}$
Với k = 2: $\Rightarrow Q{{M}_{\min }}=4$, mặt khác: $QM>\dfrac{PQ}{2}+\lambda =13,5\text{ (cm)}$
Chọn $QM=16\ cm\Rightarrow PM=8\ (cm)\Rightarrow d=6,6\text{ (cm)}$
Với k = 3: $\Rightarrow Q{{M}_{\min }}=6$, mặt khác: $QM>\dfrac{PQ}{2}+\dfrac{3\lambda }{2}=15,5\text{ (cm)}$
Chọn $QM=16\ cm\Rightarrow PM=4\text{ (cm)}\Rightarrow d=2,4\text{ (cm)}$
Với k = 4: $\Rightarrow Q{{M}_{\min }}=8$, mặt khác: $QM>\dfrac{PQ}{2}+2\lambda =17,5\text{ (cm)}$
Chọn $QM=20\text{ cm}\Rightarrow \text{PM}=4\text{ (cm)}\Rightarrow d=3,95\text{ (cm)}$
Vậy d đạt giá trị min khi $QM=16\text{ cm}$ và ${{d}_{\min }}=2,4\text{ (cm)}$.
Phần tử tại M dao động với biên độ cực đại nên: $QM-PM=k\lambda \Rightarrow PM=QM-k\lambda $
Và phần tử tại M dao động cùng pha với nguồn P nên cũng đồng pha với Q: $QM=m\lambda $
$-PQ<k\lambda <PQ\Rightarrow -19<k.4<19\Rightarrow k=-4,...,4$
$\Leftrightarrow Q{{M}^{2}}-{{d}^{2}}+P{{Q}^{2}}-2PQ\sqrt{Q{{M}^{2}}-{{d}^{2}}}={{\left( QM-k\lambda \right)}^{2}}-{{d}^{2}}$
$\Leftrightarrow P{{Q}^{2}}-2PQ\sqrt{Q{{M}^{2}}-{{d}^{2}}}=-2k.\lambda .QM+{{k}^{2}}{{\lambda }^{2}}$
$\Leftrightarrow 2PQ\sqrt{Q{{M}^{2}}-{{d}^{2}}}=P{{Q}^{2}}+2k.\lambda .QM-{{k}^{2}}{{\lambda }^{2}}$
$\Leftrightarrow 4P{{Q}^{2}}\left( Q{{M}^{2}}-{{d}^{2}} \right)=4{{k}^{2}}{{\lambda }^{2}}Q{{M}^{2}}+{{\left( P{{Q}^{2}}-{{k}^{2}}{{\lambda }^{2}} \right)}^{2}}+2.2k.\lambda .QM\left( P{{Q}^{2}}-{{k}^{2}}{{\lambda }^{2}} \right)$
$\Leftrightarrow {{d}^{2}}=\dfrac{Q{{M}^{2}}.4.P{{Q}^{2}}-4{{k}^{2}}{{\lambda }^{2}}Q{{M}^{2}}-{{\left( P{{Q}^{2}}-{{k}^{2}}{{\lambda }^{2}} \right)}^{2}}-4k.\lambda .QM\left( P{{Q}^{2}}-{{k}^{2}}{{\lambda }^{2}} \right)}{4P{{Q}^{2}}}$
$\Leftrightarrow {{d}^{2}}=\dfrac{Q{{M}^{2}}\left( 4P{{Q}^{2}}-4{{k}^{2}}{{\lambda }^{2}} \right)-\left( P{{Q}^{2}}-{{k}^{2}}{{\lambda }^{2}} \right)-4k.\lambda .QM\left( P{{Q}^{2}}-{{k}^{2}}{{\lambda }^{2}} \right)}{4P{{Q}^{2}}}$
d đạt giá trị min khi $\left\{ Q{{M}^{2}}\left( 4P{{Q}^{2}}-4{{k}^{2}}{{\lambda }^{2}} \right)-\left( P{{Q}^{2}}-{{k}^{2}}{{\lambda }^{2}} \right)-4k.\lambda .QM\left( P{{Q}^{2}}-{{k}^{2}}{{\lambda }^{2}} \right) \right\}$
đạt giá trị nhỏ nhất $\Rightarrow QM=\dfrac{4k\lambda \left( P{{Q}^{2}}-{{k}^{2}}{{\lambda }^{2}} \right)}{2\left( 4P{{Q}^{2}}-4{{k}^{2}}{{\lambda }^{2}} \right)}=\dfrac{4k\lambda }{8}$
Với k = 1: $\Rightarrow Q{{M}_{\min }}=2$ nhưng $QM=m\lambda $ và $QM>\dfrac{PQ}{2}+\dfrac{\lambda }{2}=11,5$
$\Rightarrow $ Chọn $QM=12\ cm\Rightarrow PM=8\ \text{(cm)}\Rightarrow d=3,05\text{ (cm)}$
Với k = 2: $\Rightarrow Q{{M}_{\min }}=4$, mặt khác: $QM>\dfrac{PQ}{2}+\lambda =13,5\text{ (cm)}$
Chọn $QM=16\ cm\Rightarrow PM=8\ (cm)\Rightarrow d=6,6\text{ (cm)}$
Với k = 3: $\Rightarrow Q{{M}_{\min }}=6$, mặt khác: $QM>\dfrac{PQ}{2}+\dfrac{3\lambda }{2}=15,5\text{ (cm)}$
Chọn $QM=16\ cm\Rightarrow PM=4\text{ (cm)}\Rightarrow d=2,4\text{ (cm)}$
Với k = 4: $\Rightarrow Q{{M}_{\min }}=8$, mặt khác: $QM>\dfrac{PQ}{2}+2\lambda =17,5\text{ (cm)}$
Chọn $QM=20\text{ cm}\Rightarrow \text{PM}=4\text{ (cm)}\Rightarrow d=3,95\text{ (cm)}$
Vậy d đạt giá trị min khi $QM=16\text{ cm}$ và ${{d}_{\min }}=2,4\text{ (cm)}$.
Đáp án C.