Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn số phức zthỏa...

Phương pháp:
- Gọi $z=x+yi,$ thay vào giả thiết $z+2i=z-4$ tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z.
- Xác định tọa độ các điểm $A,B v\grave{a} C.~$
- Sử dụng công thức tính diện tích tam giác: ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}d\left( A;BC \right).BC.~$
Cách giải:
Gọi $z=x+yi$ ta có:
$\begin{aligned}
& \left| x+yi+2i \right|=\left| x+yi-4 \right| \\
& \Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}} \\
\end{aligned}$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}={{\left( x-4~ \right)}^{2}}+{{y}^{2}}~$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4y+4={{x}^{2}}-8x+16~+~y{{~}^{2}}~$
$\Leftrightarrow 8x+4y~-12=~0$
$\Leftrightarrow 2x+y~-3=~0~$
Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức zlà đường thẳng $2x+y-3=0\left( d \right).~$
Đường thẳng dcắt trục Oxtại $A\left( \dfrac{3}{2};0 \right)$ cắt trục Oytại điểm $B\left( 0;3 \right)$.
Điểm Clà điểm biểu diễn số phức $z=-3i$ nên $C\left( 0;-3 \right).~$
Ta có $BC=\sqrt{{{\left( -6 \right)}^{2}}}=6.~$
Do $B,C\in Oy$ nên $d\left( A;BC \right)=d\left( A;Oy \right)=\left| {{x}_{A}} \right|=\dfrac{3}{2}$
Vậy ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}d\left( A;BC \right).BC=\dfrac{1}{2}\text{.}\dfrac{3}{2}\text{.6}=\dfrac{9}{2}.~$