Google
Câu hỏi: Trên đoạn $\left[ 0;3 \right]$, hàm số $y=x+2+\dfrac{1}{x+1}$ đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm
A. $x=0$.
B. $x=1$.
C. $x=2$.
D. $x=3$.
A. $x=0$.
B. $x=1$.
C. $x=2$.
D. $x=3$.
Cách 1: Dùng bất đẳng thức Cô-si.
Ta có $y=x+2+\dfrac{1}{x+1}=x+1+\dfrac{1}{x+1}+1$.
Áp dụng đất đẳng thức Cô-si ta được: $y\ge 2\sqrt{\left( x+1 \right).\dfrac{1}{x+1}}+1=3$.
Dấu $''=''$ xảy ra khi và chỉ khi $x+1=\dfrac{1}{x+1}\Leftrightarrow {{\left( x+1 \right)}^{2}}=1\Rightarrow x+1=0\Leftrightarrow x=0$.
Cách 2: Ta có ${y}'=1-\dfrac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}=\dfrac{{{\left( x+1 \right)}^{2}}-1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}=\dfrac{{{x}^{2}}+2x}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}>0,\forall x\in \left[ 0;3 \right]$.
Do đó hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=0\Rightarrow y=3$.
Ta có $y=x+2+\dfrac{1}{x+1}=x+1+\dfrac{1}{x+1}+1$.
Áp dụng đất đẳng thức Cô-si ta được: $y\ge 2\sqrt{\left( x+1 \right).\dfrac{1}{x+1}}+1=3$.
Dấu $''=''$ xảy ra khi và chỉ khi $x+1=\dfrac{1}{x+1}\Leftrightarrow {{\left( x+1 \right)}^{2}}=1\Rightarrow x+1=0\Leftrightarrow x=0$.
Cách 2: Ta có ${y}'=1-\dfrac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}=\dfrac{{{\left( x+1 \right)}^{2}}-1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}=\dfrac{{{x}^{2}}+2x}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}>0,\forall x\in \left[ 0;3 \right]$.
Do đó hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=0\Rightarrow y=3$.
Đáp án A.