Trên cạnh $A D$ của hình vuông $A B C D$ cạnh $1$ , người ta lấy điểm...

The Collectors · 13/3/22

Câu hỏi: Trên cạnh

A D

của hình vuông

A B C D

cạnh

1

, người ta lấy điểm

M

sao cho

A M = x (0 \leq x \leq 1)

và trên nửa đường thẳng

A x

vuông góc với mặt phẳng chứa hình vuông, người ta lấy điểm

S

với

S A = y

thỏa mãn

y > 0

và

x^{2} + y^{2} = 1

. Biết khi

M

thay đổi trên đoạn

A D

thì thể tích của khối chóp

S . A B C M

đạt giá trị lớn nhất bằng

\frac{\sqrt{m}}{n}

với

m, n \in N^{*}

và

m, n

nguyên tố cùng nhau. Tính

T = m + n

.
A.

11

.
B.

17

.
C.

27

.
D.

35

.

Ta có

V_{S . A B C M} = \frac{1}{3} S A . S_{A B C M} = \frac{1}{3} . y . \frac{x + 1}{2} = \frac{1}{6} (x + 1) \sqrt{1 - x^{2}}

.
Xét

f (x) = {(x + 1)}^{2} (1 - x^{2}) = - x^{4} - 2 x^{3} + 2 x + 1

trên

[0; 1]

.
Có

f^{'} (x) = - 4 x^{3} - 6 x^{2} + 2

;

f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{aligned} x = - 1 \\ x = 0.5 \end{aligned}

.
Lập bảng xét dấu của

f^{'} (x)

trên

[0; 1]

ta được

max_{[0; 1]} f (x) = f (\frac{1}{2}) = \frac{27}{16}

.
Vậy thể tích lớn nhất của khối

S . A B C M

là

V_{max} = \frac{1}{6} \sqrt{\frac{27}{16}} = \frac{\sqrt{3}}{8}

.

Đáp án A.

Trên cạnh AD của hình vuông ABCD cạnh 1, người ta lấy điểm...