Google
Câu hỏi: Trên cạnh $AD$ của hình vuông $ABCD$ cạnh $1$, người ta lấy điểm $M$ sao cho $AM=x\left( 0\le x\le 1 \right)$ và trên nửa đường thẳng $Ax$ vuông góc với mặt phẳng chứa hình vuông, người ta lấy điểm $S$ với $SA=y$ thỏa mãn $y>0$ và ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1$. Biết khi $M$ thay đổi trên đoạn $AD$ thì thể tích của khối chóp $S.ABCM$ đạt giá trị lớn nhất bằng $\dfrac{\sqrt{m}}{n}$ với $m,n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ và $m,n$ nguyên tố cùng nhau. Tính $T=m+n$.
A. $11$.
B. $17$.
C. $27$.
D. $35$.
Ta có ${{V}_{S.ABCM}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{ABCM}}=\dfrac{1}{3}.y.\dfrac{x+1}{2}=\dfrac{1}{6}\left( x+1 \right)\sqrt{1-{{x}^{2}}}$.
Xét $f\left( x \right)={{\left( x+1 \right)}^{2}}\left( 1-{{x}^{2}} \right)=-{{x}^{4}}-2{{x}^{3}}+2x+1$ trên $\left[ 0;1 \right]$.
Có ${f}'\left( x \right)=-4{{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+2$ ; ${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& x=0.5 \\
\end{aligned} \right.$.
Lập bảng xét dấu của ${f}'\left( x \right)$ trên $\left[ 0;1 \right]$ ta được $\underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=f\left( \dfrac{1}{2} \right)=\dfrac{27}{16}$.
Vậy thể tích lớn nhất của khối $S.ABCM$ là ${{V}_{\max }}=\dfrac{1}{6}\sqrt{\dfrac{27}{16}}=\dfrac{\sqrt{3}}{8}$.
A. $11$.
B. $17$.
C. $27$.
D. $35$.
Ta có ${{V}_{S.ABCM}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{ABCM}}=\dfrac{1}{3}.y.\dfrac{x+1}{2}=\dfrac{1}{6}\left( x+1 \right)\sqrt{1-{{x}^{2}}}$.
Xét $f\left( x \right)={{\left( x+1 \right)}^{2}}\left( 1-{{x}^{2}} \right)=-{{x}^{4}}-2{{x}^{3}}+2x+1$ trên $\left[ 0;1 \right]$.
Có ${f}'\left( x \right)=-4{{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+2$ ; ${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& x=0.5 \\
\end{aligned} \right.$.
Lập bảng xét dấu của ${f}'\left( x \right)$ trên $\left[ 0;1 \right]$ ta được $\underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=f\left( \dfrac{1}{2} \right)=\dfrac{27}{16}$.
Vậy thể tích lớn nhất của khối $S.ABCM$ là ${{V}_{\max }}=\dfrac{1}{6}\sqrt{\dfrac{27}{16}}=\dfrac{\sqrt{3}}{8}$.
Đáp án A.