Tổng tất cả nghiệm của phương trình $\sin 2x+4\sin x-2\cos x-4=0$ trên đoạn $\left[ 0;100\pi \right]$.

Ta có $\sin 2x+4\sin x-2\cos x-4=0\Leftrightarrow \left( \sin 2x+4\sin x \right)-2\left( \cos x+2 \right)=0$
$\Leftrightarrow 2\sin x\left( \cos x+2 \right)-2\left( \cos x+2 \right)=0$
$\Leftrightarrow \left( 2\sin x-2 \right)\left( \cos x+2 \right)=0$.
$\Leftrightarrow \sin x=1\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi }{2}+k2\pi ,\left( k\in \mathbb{Z} \right).$
Trên đoạn $\left[ 0;100\pi \right]$ ta có $0\le x\le 100\pi .$
$\Leftrightarrow 0\le \dfrac{\pi }{2}+k2\pi \le 100\pi \Leftrightarrow \dfrac{-1}{4}\le k\le \dfrac{199}{4}$
Với $k\in \mathbb{Z}$ ta có $k\in \left\{ 0;1;2;....;48;49 \right\}.$
Vậy tổng các nghiệm của phương trình trên đoạn $\left[ 0;100\pi \right]$ là
$S=\dfrac{\pi }{2}+\left( \dfrac{\pi }{2}+2\pi \right)+\left( \dfrac{\pi }{2}+2.2\pi \right)+\left( \dfrac{\pi }{2}+3.2\pi \right)+...+\left( \dfrac{\pi }{2}+49.2\pi \right)$
$=\dfrac{50\pi }{2}+\left( 1+2+...+49 \right).2\pi =2475\pi .$