Tổng tất cả các nghiệm thuộc khoảng $\left( 0{}^\circ ;360{}^\circ...

Ta có: $\sin \left( x+45{}^\circ \right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ $\Leftrightarrow \sin \left( x+45{}^\circ \right)=\sin \left( -45{}^\circ \right)$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x+45{}^\circ =-45{}^\circ +k360{}^\circ \\
& x+45{}^\circ =180{}^\circ +45{}^\circ +k360{}^\circ \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-90{}^\circ +k360{}^\circ \\
& x=180{}^\circ +k360{}^\circ \\
\end{aligned} \right.,\left( k\in \mathbb{Z} \right)$.
Với $x=-90{}^\circ +k360{}^\circ $, $k\in \mathbb{Z}$
So điều kiện $x\in \left( 0{}^\circ ;360{}^\circ \right)$ $\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 0{}^\circ <-90{}^\circ +k360{}^\circ <360{}^\circ \\
& k\in \mathbb{Z} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{1}{4}<k<\dfrac{5}{4} \\
& k\in \mathbb{Z} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow k\in \left\{ 1 \right\}$
$\Rightarrow x=270{}^\circ $.
Với $x=180{}^\circ +k360{}^\circ $, $k\in \mathbb{Z}$
So điều kiện $x\in \left( 0{}^\circ ;360{}^\circ \right)$ $\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 0{}^\circ <180{}^\circ +k360{}^\circ <360{}^\circ \\
& k\in \mathbb{Z} \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -\dfrac{1}{2}<k<\dfrac{1}{2} \\
& k\in \mathbb{Z} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow k\in \left\{ 0 \right\}$
$\Rightarrow x=180{}^\circ $.
Vậy tổng tất cả các nghiệm thuộc khoảng $\left( 0{}^\circ ;360{}^\circ \right)$ của phương trình là $270{}^\circ +180{}^\circ =450{}^\circ $.