Google
Câu hỏi: Tổng tất cả cá giá trị của tham số mđể đồ thị hàm số $y=x{{~}^{3}}-3mx~+3mx+{{m}^{2}}~-2{{m}^{3}}~$ tiếp xúc với trục hoành bằng:
A. $\dfrac{4}{3}$
B. 1
C. 0
D. $\dfrac{2}{3}$
A. $\dfrac{4}{3}$
B. 1
C. 0
D. $\dfrac{2}{3}$
Phương pháp:
Đồ thị hàm số $y=f\left( x \right); y=g\left( x \right)$ tiếp xúc nhau khi và chỉ khi hệ phương trình $\left\{ \begin{aligned}
& f\left( x \right)=g\left( x \right) \\
& f'\left( x \right)=g'\left( x \right) \\
\end{aligned} \right.$ có nghiệm.
Cách giải:
Đồ thị hàm số y= ${{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+3mx+{{m}^{2}}-2{{m}^{3}}$ tiếp xúc với trục hoành khi và chỉ khi hệ phương trình
$\left\{ \begin{aligned}
& f\left( x \right)=0 \\
& f\left( x \right)=0 \\
\end{aligned} \right.$ có nghiệm.
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{3}}-3m{{x}^{3}}+3mx+{{m}^{2}}-2{{m}^{3}}=0 \\
& 3{{x}^{2}}-6mx+3m=0 \\
\end{aligned} \right.$ có nghiệm
⇔ $\left\{ \begin{aligned}
& x\left( {{x}^{2}}-2mx+m \right)-m{{x}^{2}}+2mx+{{m}^{2}}-2{{m}^{3}}=0 \left( 1 \right) \\
& {{x}^{2}}-2mx+m=0 \left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$ có nghiệm.
⇔ $\left\{ \begin{aligned}
& -m{{x}^{2}}+2mx+{{m}^{2}}-2{{m}^{3}}=0 \\
& {{x}^{2}}=2mx-m \\
\end{aligned} \right.$ có nghiệm.
⇔ $\left\{ \begin{aligned}
& -m\left( 2mx-m \right)+2mx+{{m}^{2}}-2{{m}^{3}}=0 \\
& {{x}^{2}}=2mx-m \\
\end{aligned} \right.$ có nghiệm.
⇔ $\left\{ \begin{aligned}
& -2{{m}^{2}}x+2{{m}^{2}}+2mx-2{{m}^{3}}=0 \\
& {{x}^{2}}=2mx-m \\
\end{aligned} \right.$ có nghiệm
⇔ $\left\{ \begin{aligned}
& -2mx\left( m-1 \right)+2m\left( 1-m \right)=0 \\
& {{x}^{2}}=2mx-m \\
\end{aligned} \right.$ có nghiệm
⇔ $\left\{ \begin{aligned}
& 2m\left( m-1 \right)\left( -x-m \right)=0 \\
& {{x}^{2}}=2mx-m \\
\end{aligned} \right.$ có nghiệm
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m={{0}_{\left( 2 \right)}} \\
& m=1\Rightarrow \\
& x=-m \\
\end{aligned} \right.\left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=1 \\
& m=0hoacm=\dfrac{1}{3} \\
\end{aligned} \right.$
Với $m=0\Rightarrow y={{x}^{3}}$ (điểm uốn thuộc Ox) ⇒ Thỏa mãn.
Với $m=1\Rightarrow y=\left( x-1 \right){{~}^{3}}$ (điểm uốn thuộc Ox) ⇒ Thỏa mãn.
Với $m=-\dfrac{1}{3}~~\Rightarrow y={{x}^{3}}+{{x}^{2}}-x+\dfrac{5}{27}$ .
Ta có BBT:
⇒Đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành tại $x=\dfrac{1}{3}$.
Vậy ${{m}_{1}}+{{m}_{2}}+{{m}_{3}}=0+1+\left( -\dfrac{1}{3} \right)=\dfrac{2}{3}$
Đồ thị hàm số $y=f\left( x \right); y=g\left( x \right)$ tiếp xúc nhau khi và chỉ khi hệ phương trình $\left\{ \begin{aligned}
& f\left( x \right)=g\left( x \right) \\
& f'\left( x \right)=g'\left( x \right) \\
\end{aligned} \right.$ có nghiệm.
Cách giải:
Đồ thị hàm số y= ${{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+3mx+{{m}^{2}}-2{{m}^{3}}$ tiếp xúc với trục hoành khi và chỉ khi hệ phương trình
$\left\{ \begin{aligned}
& f\left( x \right)=0 \\
& f\left( x \right)=0 \\
\end{aligned} \right.$ có nghiệm.
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{3}}-3m{{x}^{3}}+3mx+{{m}^{2}}-2{{m}^{3}}=0 \\
& 3{{x}^{2}}-6mx+3m=0 \\
\end{aligned} \right.$ có nghiệm
⇔ $\left\{ \begin{aligned}
& x\left( {{x}^{2}}-2mx+m \right)-m{{x}^{2}}+2mx+{{m}^{2}}-2{{m}^{3}}=0 \left( 1 \right) \\
& {{x}^{2}}-2mx+m=0 \left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$ có nghiệm.
⇔ $\left\{ \begin{aligned}
& -m{{x}^{2}}+2mx+{{m}^{2}}-2{{m}^{3}}=0 \\
& {{x}^{2}}=2mx-m \\
\end{aligned} \right.$ có nghiệm.
⇔ $\left\{ \begin{aligned}
& -m\left( 2mx-m \right)+2mx+{{m}^{2}}-2{{m}^{3}}=0 \\
& {{x}^{2}}=2mx-m \\
\end{aligned} \right.$ có nghiệm.
⇔ $\left\{ \begin{aligned}
& -2{{m}^{2}}x+2{{m}^{2}}+2mx-2{{m}^{3}}=0 \\
& {{x}^{2}}=2mx-m \\
\end{aligned} \right.$ có nghiệm
⇔ $\left\{ \begin{aligned}
& -2mx\left( m-1 \right)+2m\left( 1-m \right)=0 \\
& {{x}^{2}}=2mx-m \\
\end{aligned} \right.$ có nghiệm
⇔ $\left\{ \begin{aligned}
& 2m\left( m-1 \right)\left( -x-m \right)=0 \\
& {{x}^{2}}=2mx-m \\
\end{aligned} \right.$ có nghiệm
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m={{0}_{\left( 2 \right)}} \\
& m=1\Rightarrow \\
& x=-m \\
\end{aligned} \right.\left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=1 \\
& m=0hoacm=\dfrac{1}{3} \\
\end{aligned} \right.$
Với $m=0\Rightarrow y={{x}^{3}}$ (điểm uốn thuộc Ox) ⇒ Thỏa mãn.
Với $m=1\Rightarrow y=\left( x-1 \right){{~}^{3}}$ (điểm uốn thuộc Ox) ⇒ Thỏa mãn.
Với $m=-\dfrac{1}{3}~~\Rightarrow y={{x}^{3}}+{{x}^{2}}-x+\dfrac{5}{27}$ .
Ta có BBT:
⇒Đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành tại $x=\dfrac{1}{3}$.
Vậy ${{m}_{1}}+{{m}_{2}}+{{m}_{3}}=0+1+\left( -\dfrac{1}{3} \right)=\dfrac{2}{3}$
Đáp án D.