Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\dfrac{3{{x}^{2}}-2x-1}{{{x}^{2}}-1}$ là:

Phương pháp:
Sử dụng khái niệm đường tiệm cận của đồ thị hàm số: Cho hàm số $y=f\left( x \right).$
- Đường thẳng $y={{y}_{0}}$ là TCN của đồ thị hàm số nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau: $\underset{x\Rightarrow +\infty }{\mathop{\lim }} y={{y}_{0}}$ hoặc $\underset{x\Rightarrow -\infty }{\mathop{\lim }} y={{y}_{0}}$.
- Đường thẳng $x={{x}_{0}}$ là TCĐ của đồ thị hàm số nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau: $\underset{x\Rightarrow x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }} y=+\infty $ hoặc $\underset{x\Rightarrow x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }} y=-\infty $ hoặc $\underset{x\Rightarrow x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }} y=+\infty $ hoặc $\underset{x\Rightarrow x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }} y=-\infty $.
Cách giải:
Ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& \underset{x\Rightarrow +\infty }{\mathop{\lim }} y=\underset{x\Rightarrow +\infty }{\mathop{\lim }} \dfrac{3{{x}^{2}}-2x-1}{{{x}^{2}}-1}=3 \\
& \underset{x\Rightarrow -\infty }{\mathop{\lim }} y=\underset{x\Rightarrow -\infty }{\mathop{\lim }} \dfrac{3{{x}^{2}}-2x-1}{{{x}^{2}}-1}=3 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow y=3$ là TCN của đồ thị hàm số.
$\dfrac{3{{x}^{2}}-2x-1}{{{x}^{2}}-1}=\dfrac{\left( x-1 \right)\left( 3x+1 \right)}{\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)}=\dfrac{3x+1}{x+1}$ nên $\left\{ \begin{aligned}
& \underset{x\Rightarrow -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} y=-\infty \\
& \underset{x\Rightarrow -{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }} y=+\infty \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow x=-1$ là TCĐ của đồ thị hàm số.
Vậy tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\dfrac{3{{x}^{2}}-2x-1}{{{x}^{2}}-1}$ là 2.