Google
Câu hỏi: Tổng giá trị lớn nhất $M$ và giá trị nhỏ nhất $m$ của hàm số $f\left( x \right)=\left( x-6 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+4}$ trên đoạn $\left[ 0 ; 3 \right]$ có dạng $a-b\sqrt{c}$ với $a$ là số nguyên và $b$, $c$ là các số nguyên dương. Tính $S=a+b+c$.
A. $5$.
B. $-22$.
C. $-2$.
D. $4$.
A. $5$.
B. $-22$.
C. $-2$.
D. $4$.
TXĐ: $D=\mathbb{R}$.
Có: $f'\left( x \right)=\sqrt{{{x}^{2}}+4}+\left( x-6 \right)\dfrac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+4}}=\dfrac{2{{x}^{2}}-6x+4}{\sqrt{{{x}^{2}}+4}}$
$\Rightarrow f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& x=2 \\
\end{aligned} \right.$.
Có: $f\left( 0 \right)=-12$, $f\left( 1 \right)=-5\sqrt{5}$, $f\left( 2 \right)=-8\sqrt{2}$, $f\left( 3 \right)=-3\sqrt{13}$. Mà hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ 0 ; 3 \right]$ nên $\underset{\left[ 0 ; 3 \right]}{\mathop{max}} f\left( x \right)=-3\sqrt{13}$ và $\underset{\left[ 0 ; 3 \right]}{\mathop{min}} f\left( x \right)=-12$.
Do đó: $a=-12$, $b=3$, $c=13$ $\Rightarrow S=4$.
Có: $f'\left( x \right)=\sqrt{{{x}^{2}}+4}+\left( x-6 \right)\dfrac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+4}}=\dfrac{2{{x}^{2}}-6x+4}{\sqrt{{{x}^{2}}+4}}$
$\Rightarrow f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& x=2 \\
\end{aligned} \right.$.
Có: $f\left( 0 \right)=-12$, $f\left( 1 \right)=-5\sqrt{5}$, $f\left( 2 \right)=-8\sqrt{2}$, $f\left( 3 \right)=-3\sqrt{13}$. Mà hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ 0 ; 3 \right]$ nên $\underset{\left[ 0 ; 3 \right]}{\mathop{max}} f\left( x \right)=-3\sqrt{13}$ và $\underset{\left[ 0 ; 3 \right]}{\mathop{min}} f\left( x \right)=-12$.
Do đó: $a=-12$, $b=3$, $c=13$ $\Rightarrow S=4$.
Đáp án D.