Google
Câu hỏi: Tổng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left( x \right)=x\left( 2-\ln x \right)$ trên đoạn $\left[ 2 ; 3 \right]$ bằng
A. $6-3\ln 3+\text{e}$.
B. $10-2\ln 2-3\ln 3+\text{e}$.
C. $10-2\ln 2-3\ln 3$.
D. $4-2\ln 2+\text{e}$.
A. $6-3\ln 3+\text{e}$.
B. $10-2\ln 2-3\ln 3+\text{e}$.
C. $10-2\ln 2-3\ln 3$.
D. $4-2\ln 2+\text{e}$.
Tập xác định: $D=\left( 0 ;+\infty \right)$.
Ta có: ${f}'\left( x \right)=\left( 2-\ln x \right)+x\left( -\dfrac{1}{x} \right)=1-\ln x$.
${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 1-\ln x=0\Leftrightarrow \ln x=1\Leftrightarrow x=\text{e}\in \left[ 2 ; 3 \right]$.
Lại có: $f\left( 2 \right)=2\left( 2-\ln 2 \right)=4-2\ln 2$.
$f\left( 3 \right)=3\left( 2-\ln 3 \right)=6-3\ln 3$.
$f\left( \text{e} \right)=\text{e}\left( 2-\ln \text{e} \right)=\text{e}$.
Ta thấy $f\left( \text{e} \right)>f\left( 3 \right)>f\left( 2 \right)$
Suy ra $\underset{\left[ 2 ; 3 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=f\left( \text{e} \right)=\text{e}$ khi $x=\text{e}$, $\underset{\left[ 2 ; 3 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=f\left( 2 \right)=4-2\ln 2$ khi $x=2$.
Vậy $\underset{\left[ 2; 3 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)+\underset{\left[ 2; 3 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=4-2\ln 2+\text{e}$.
Ta có: ${f}'\left( x \right)=\left( 2-\ln x \right)+x\left( -\dfrac{1}{x} \right)=1-\ln x$.
${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 1-\ln x=0\Leftrightarrow \ln x=1\Leftrightarrow x=\text{e}\in \left[ 2 ; 3 \right]$.
Lại có: $f\left( 2 \right)=2\left( 2-\ln 2 \right)=4-2\ln 2$.
$f\left( 3 \right)=3\left( 2-\ln 3 \right)=6-3\ln 3$.
$f\left( \text{e} \right)=\text{e}\left( 2-\ln \text{e} \right)=\text{e}$.
Ta thấy $f\left( \text{e} \right)>f\left( 3 \right)>f\left( 2 \right)$
Suy ra $\underset{\left[ 2 ; 3 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=f\left( \text{e} \right)=\text{e}$ khi $x=\text{e}$, $\underset{\left[ 2 ; 3 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=f\left( 2 \right)=4-2\ln 2$ khi $x=2$.
Vậy $\underset{\left[ 2; 3 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)+\underset{\left[ 2; 3 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=4-2\ln 2+\text{e}$.
Đáp án D.