Google
Câu hỏi: Tổng các nghiệm nguyên thuộc đoạn $\left[ -10;10 \right]$ của bất phương trình ${{\left( 1+\sqrt{10} \right)}^{{{\log }_{3}}(x+9)}}-\dfrac{5}{3}{{\left( -1+\sqrt{10} \right)}^{{{\log }_{3}}(x+9)}}\ge -\dfrac{2}{3}x-6$ là
A. 21.
B. 45.
C. 55.
D. 19.
A. 21.
B. 45.
C. 55.
D. 19.
Điều kiện: $x+9>0\Leftrightarrow x>-9$.
Đặt $a={{\left( 1+\sqrt{10} \right)}^{{{\log }_{3}}(x+9)}}>0$, $b={{\left( -1+\sqrt{10} \right)}^{{{\log }_{3}}(x+9)}}>0$ suy ra $ab={{\left( 1+\sqrt{10} \right)}^{{{\log }_{3}}(x+9)}}.{{\left( -1+\sqrt{10} \right)}^{{{\log }_{3}}(x+9)}}={{9}^{^{{{\log }_{3}}(x+9)}}}={{(x+9)}^{2}}$
Từ đó ta có bất phương trình: $a-\dfrac{5}{3}b\ge -\dfrac{2}{3}\sqrt{ab}$ $\Leftrightarrow a+\dfrac{2}{3}\sqrt{ab}-\dfrac{5}{3}b\ge 0$ $\Leftrightarrow \dfrac{a}{b}+\dfrac{2}{3}\sqrt{\dfrac{a}{b}}-\dfrac{5}{3}\ge 0$
$\Leftrightarrow \sqrt{\dfrac{a}{b}}\ge 1$ $\Leftrightarrow \dfrac{a}{b}\ge 1$ $\to {{\left( \dfrac{1+\sqrt{10}}{-1+\sqrt{10}} \right)}^{{{\log }_{3}}(x+9)}}\ge 1$ $\Leftrightarrow {{\log }_{3}}(x+9)\ge 0\Leftrightarrow x+9\ge 1\Leftrightarrow x\ge -8$.
Nghiệm nguyên thuộc đoạn $\left[ -10;10 \right]$ là tập $\left\{ -8;-7;...;9;10 \right\}$.
Đặt $a={{\left( 1+\sqrt{10} \right)}^{{{\log }_{3}}(x+9)}}>0$, $b={{\left( -1+\sqrt{10} \right)}^{{{\log }_{3}}(x+9)}}>0$ suy ra $ab={{\left( 1+\sqrt{10} \right)}^{{{\log }_{3}}(x+9)}}.{{\left( -1+\sqrt{10} \right)}^{{{\log }_{3}}(x+9)}}={{9}^{^{{{\log }_{3}}(x+9)}}}={{(x+9)}^{2}}$
Từ đó ta có bất phương trình: $a-\dfrac{5}{3}b\ge -\dfrac{2}{3}\sqrt{ab}$ $\Leftrightarrow a+\dfrac{2}{3}\sqrt{ab}-\dfrac{5}{3}b\ge 0$ $\Leftrightarrow \dfrac{a}{b}+\dfrac{2}{3}\sqrt{\dfrac{a}{b}}-\dfrac{5}{3}\ge 0$
$\Leftrightarrow \sqrt{\dfrac{a}{b}}\ge 1$ $\Leftrightarrow \dfrac{a}{b}\ge 1$ $\to {{\left( \dfrac{1+\sqrt{10}}{-1+\sqrt{10}} \right)}^{{{\log }_{3}}(x+9)}}\ge 1$ $\Leftrightarrow {{\log }_{3}}(x+9)\ge 0\Leftrightarrow x+9\ge 1\Leftrightarrow x\ge -8$.
Nghiệm nguyên thuộc đoạn $\left[ -10;10 \right]$ là tập $\left\{ -8;-7;...;9;10 \right\}$.
Đáp án D.