Tổng các giá trị nguyên âm của $m$ để hàm số $y={{x}^{3}}+mx-\dfrac{1}{5{{x}^{5}}}$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$ ?

Tập xác định: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}.$
Ta có: $y'=3{{x}^{2}}+m+\dfrac{1}{{{x}^{6}}}.$
Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$ khi $3{{x}^{2}}+m+\dfrac{1}{{{x}^{6}}}\ge 0,\forall x\in \left( 0;+\infty \right).$
$\Leftrightarrow -m\le 3{{x}^{2}}+\dfrac{1}{{{x}^{6}}},\forall x\in \left( 0;+\infty \right).$
$\Leftrightarrow -m\le \underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\min }} g\left( x \right).$
Với $g\left( x \right)=3{{x}^{2}}+\dfrac{1}{{{x}^{6}}}.$ Ta có: $g'\left( x \right)=6x-\dfrac{6}{{{x}^{7}}};$
$g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 6x-\dfrac{6}{{{x}^{7}}}\Leftrightarrow x-\dfrac{1}{{{x}^{7}}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1\in \left( 0;+\infty \right) \\
& x=-1\notin \left( 0;+\infty \right) \\
\end{aligned} \right..$
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên suy ra: $-m\le 4\Leftrightarrow m\ge -4.$
Suy ra: $m\in \left\{ -4;-3;-2;-1 \right\}.$ Vậy tổng $-4-3-2-1=-10.$