Tổng bình phương các giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $d:y=-x-m$ cắt đồ thị $\left( C \right):y=\dfrac{x-2}{x-1}$ tại hai điểm phân biệt...

Xét phương trình $\dfrac{x-2}{x-1}=-x-m\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x\ne 1 \\
& x-2=-{{x}^{2}}-mx+x+m \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x\ne 1 \\
& {{x}^{2}}+mx-m-2=0\left( * \right) \\
\end{aligned} \right.$
Đường thẳng $d$ cắt đồ thị $\left( C \right)$ tại hai điểm phân biệt $A,B$ khi và chỉ khi phương trình ${{x}^{2}}+mx-m-2=0$ có hai nghiệm phân biệt khác $1\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}-4\left( -m-2 \right)>0 \\
& 1+m-m-2\ne 0 \\
\end{aligned} \right. $ (đúng với $ \forall m$).
Với mọi $m$ đường thẳng $d$ cắt đồ thị $\left( C \right)$ tại hai điểm phân biệt $A\left( a;-a-m \right),B\left( b;-b-m \right)$ với $a,b$ là nghiệm của phương trình (*). Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& a+b=-m \\
& a.b=-m-2 \\
\end{aligned} \right..$
$\overrightarrow{AB}=\left( b-a;a-b \right)\Rightarrow AB=\sqrt{2\left[ {{\left( a+b \right)}^{2}}-4ab \right]}=\sqrt{2\left( {{m}^{2}}+4m+8 \right)}$.
Ta có phương trình $\sqrt{2\left( {{m}^{2}}+4m+8 \right)}=\sqrt{10}\Leftrightarrow {{m}^{2}}+4m+3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=-1 \\
& m=-3 \\
\end{aligned} \right..$
$S={{\left( -1 \right)}^{2}}+{{\left( -3 \right)}^{2}}=10.$
Lời bình: Có thể sử dụng công thức giải nhanh ${{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}=\dfrac{\Delta }{{{a}^{2}}}.$