Google
Câu hỏi: Tính $\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{x-\sqrt{x}}{x}.$
A. $-\infty .$
B. 0.
C. 1.
D. $+\infty .$
A. $-\infty .$
B. 0.
C. 1.
D. $+\infty .$
Với $x>0,\sqrt{x}=\sqrt{\dfrac{{{x}^{2}}}{x}}=\dfrac{\left| x \right|}{\sqrt{x}}=\dfrac{x}{\sqrt{x}}.$
Khi đó $\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{x-\sqrt{x}}{x}=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{x\left( 1-\dfrac{1}{\sqrt{x}} \right)}{x}=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }} \left( 1-\dfrac{1}{\sqrt{x}} \right)=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }} 1-\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{1}{\sqrt{x}}.$
Vì $\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }} 1=1>0,\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }} \sqrt{x}=0$ và $\sqrt{x}>0$ với mọi $x>0\Rightarrow \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{1}{\sqrt{x}}=+\infty .$ Do đó $\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{x-\sqrt{x}}{x}=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }} 1-\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{1}{\sqrt{x}}=1-\left( +\infty \right)=-\infty .$
Khi đó $\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{x-\sqrt{x}}{x}=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{x\left( 1-\dfrac{1}{\sqrt{x}} \right)}{x}=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }} \left( 1-\dfrac{1}{\sqrt{x}} \right)=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }} 1-\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{1}{\sqrt{x}}.$
Vì $\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }} 1=1>0,\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }} \sqrt{x}=0$ và $\sqrt{x}>0$ với mọi $x>0\Rightarrow \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{1}{\sqrt{x}}=+\infty .$ Do đó $\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{x-\sqrt{x}}{x}=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }} 1-\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{1}{\sqrt{x}}=1-\left( +\infty \right)=-\infty .$
Đáp án A.