Tính tổng tất cả các giá trị nguyên dương của $m$ để bất phương...

Ta có:
$\begin{aligned}
& {{2}^{x+3}}+{{2}^{m-x}}<{{2}^{m+3}}+1 \\
& \Leftrightarrow {{2}^{m+3}}+1-{{2}^{x+3}}-{{2}^{m-x}}>0 \\
& \Leftrightarrow {{2}^{x+3}}\left( {{2}^{m-x}}-1 \right)-\left( {{2}^{m-x}}-1 \right)>0 \\
& \Leftrightarrow \left( {{2}^{x+3}}-1 \right)\left( {{2}^{m-x}}-1 \right)>0 \\
\end{aligned}$
Trường hợp 1: $\left\{ \begin{aligned}
& {{2}^{x+3}}-1<0 \\
& {{2}^{m-x}}-1<0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x<-3 \\
& x>m \\
\end{aligned} \right.$
Bất phương trình có nghiệm khi $m<-3$ (loại).
Trường hợp 1: $\left\{ \begin{aligned}
& {{2}^{x+3}}-1>0 \\
& {{2}^{m-x}}-1>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x>-3 \\
& x<m \\
\end{aligned} \right.$
Bất phương trình có nghiệm khi $m>-3$.
Khi đó bất phương trình có nghiệm: $-3<x<m$.
Để bất phương trình có nhiều nhất 20 nghiệm nguyên thì $-3<x<18\Leftrightarrow m\le 18$
Do $m\in {{\mathbb{Z}}^{+}}\Rightarrow m\in \left\{ 1;2;3;...;18 \right\}$
Vậy tổng tất cả các giá trị nguyên dương của $m$ là: $1+2+3+...+18=171.$