Tính tổng tất cả các giá trị nguyên dương của $m$ để bất phương...

Ta có:
$\begin{array}{rl}& 2^{x+3}+2^{m-x}<2^{m+3}+1\\ & \iff 2^{m+3}+1-2^{x+3}-2^{m-x}>0\\ & \iff 2^{x+3}(2^{m-x}-1)-(2^{m-x}-1)>0\\ & \iff (2^{x+3}-1)(2^{m-x}-1)>0\end{array}$
Trường hợp 1: $\{\begin{array}{rl}& 2^{x+3}-1<0\\ & 2^{m-x}-1<0\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& x<-3\\ & x>m\end{array}$
Bất phương trình có nghiệm khi $m<-3$ (loại).
Trường hợp 1: $\{\begin{array}{rl}& 2^{x+3}-1>0\\ & 2^{m-x}-1>0\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& x>-3\\ & x<m\end{array}$
Bất phương trình có nghiệm khi $m>-3$.
Khi đó bất phương trình có nghiệm: $-3<x<m$.
Để bất phương trình có nhiều nhất 20 nghiệm nguyên thì $-3<x<18\iff m\le 18$
Do $m\in {\mathbb{Z}}^{+}\Rightarrow m\in \{1;2;3;...;18\}$
Vậy tổng tất cả các giá trị nguyên dương của $m$ là: $1+2+3+...+18=171.$