Tính tổng $S$ của tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc khoảng $\left( -10;10 \right)$ để phương trình ${{2}^{x}}.{{\log }_{3}}x+m=2\pi...

Phương pháp:
- Tìm ĐKXĐ của phương trình.
- Đưa phương trình đã cho về dạng tích, giải phương trình mũ và phương trình logarit.
- Tìm điều kiện để phương trình chứa ẩn $m$ có nghiệm thỏa mãn ĐKXĐ và khác với nghiệm tường minh tìm được.
Cách giải:
ĐKXĐ: $x>0.$
Ta có:
${{2}^{x}}.{{\log }_{3}}x+m={{2}^{x}}+m{{\log }_{3}}x$
$\Leftrightarrow \left( {{2}^{x}}.{{\log }_{3}}x-{{2}^{2}} \right)-\left( m{{\log }_{3}}x-m \right)=0$
$\Leftrightarrow {{2}^{x}}\left( {{\log }_{3}}x-1 \right)-m\left( {{\log }_{3}}x-1 \right)=0$
$\Leftrightarrow \left( {{\log }_{3}}x-1 \right)\left( {{2}^{x}}-m \right)=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{\log }_{3}}x=1 \\
& {{2}^{x}}=m \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=3 \\
& m={{2}^{x}} \\
\end{aligned} \right.$
Để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt thì $\left\{ \begin{aligned}
& m>0 \\
& {{\log }_{2}}m>0 \\
& {{\log }_{2}}m\ne 3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m>1 \\
& m\ne 9 \\
\end{aligned} \right..$
Kết hợp điều kiện đề bài ta có $m\in \left\{ 2;3;4;5;6;7;8 \right\}.$
Vậy tổng $S$ của tất cả các giá trị nguyên của $m$ là $S=2+3+4+5+6+7+8=44.$