Tính tổng các nghiệm nguyên thuộc đoạn $\left[ -5 ; 10 \right]$...

${{2}^{{{x}^{2}}+x}}\left( 3{{x}^{2}}-6x+6 \right)\ge 7{{x}^{2}}-29x+34$ $\Leftrightarrow {{2}^{{{x}^{2}}+x-2}}\left( 12{{x}^{2}}-24x+24 \right)\ge 7{{x}^{2}}-29x+34 \left( 1 \right)$.
Đặt $a=12{{x}^{2}}-24x+24$ ; $b=7{{x}^{2}}-29x+34 \left( a, b>0 \right)$. Suy ra: ${{x}^{2}}+x-2=\dfrac{a-b}{5}$. Thay vào $\left( 1 \right)$ ta được: ${{2}^{\dfrac{a-b}{5}}}a\ge b$ $\Leftrightarrow a{{.2}^{\dfrac{a}{5}}}\ge b{{.2}^{\dfrac{b}{5}}}$ $\Leftrightarrow f\left( a \right)\ge f\left( b \right) \left( 2 \right)$, với $f\left( t \right)=t{{.2}^{\dfrac{t}{5}}}$ là hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 0 ; +\infty \right)$.
Vậy $\left( 2 \right)\Leftrightarrow a\ge b$ $\Rightarrow 12{{x}^{2}}-24x+24\ge 7{{x}^{2}}-29x+34$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}+x-2\ge 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x\le -2 \\
& x\ge 1 \\
\end{aligned} \right.$.
Mà $x$ nguyên thuộc đoạn $\left[ -5 ; 10 \right]$ nên $x\in \left\{ -5 ; -4 ; -3 ;-2 ; 1 ; 2 ; ... ; 10 \right\}$.
Vậy tổng các nghiệm nguyên thuộc đoạn $\left[ -5 ; 10 \right]$ của bất phương trình đã cho là: 41.