Tính tổng các nghiệm của phương trình ${{\log }_{2}}\sqrt{\dfrac{{{x}^{2}}+x+1}{5x-1}}+{{x}^{2}}-4x+2=0.$

Phương pháp:
Xét hàm đặc trưng.
Cách giải:
ĐKXĐ: $5x-1>0\Leftrightarrow x>\dfrac{1}{5}.$
Ta có:
${{\log }_{2}}\sqrt{\dfrac{{{x}^{2}}+x+1}{5x-1}}+{{x}^{2}}-4x+2=0$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}{{\log }_{2}}\dfrac{{{x}^{2}}+x+1}{5x-1}+{{x}^{2}}-4x+2=0$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}{{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)-\dfrac{1}{2}{{\log }_{2}}\left( 5x-1 \right)+{{x}^{2}}-4x+2=0$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}{{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)+{{x}^{2}}+x+1=\dfrac{1}{2}{{\log }_{2}}\left( 5x-1 \right)+5x-1\left( * \right)$
Xét hàm đặc trưng $f\left( t \right)=\dfrac{1}{2}{{\log }_{2}}t+t\left( t>0 \right)$ có $f'\left( t \right)=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{t\ln 2}+1>0\forall t>0$ nên hàm số đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right),$ suy ra $\left( * \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}+x+1=5x-1\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x+2=0\Leftrightarrow x=2\pm \sqrt{2}\left( tm \right).$
Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho là $2+\sqrt{2}+2-\sqrt{2}=4.$