Google
Câu hỏi: Tính thể tích vật thể giới hạn bởi các mặt phẳng $x=0$ và $x=1$, biết thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoàng độ $x$ $\left( 0\le x\le 1 \right)$ là một hình vuông có độ dài cạnh $\sqrt{x\left( {{e}^{x}}-1 \right)}$.
A. $V=\dfrac{\pi }{2}$.
B. $V=\dfrac{1}{2}$.
C. $V=\dfrac{e-1}{2}$.
D. $V=\dfrac{\pi (e-1)}{2}$.
A. $V=\dfrac{\pi }{2}$.
B. $V=\dfrac{1}{2}$.
C. $V=\dfrac{e-1}{2}$.
D. $V=\dfrac{\pi (e-1)}{2}$.
Ta có diện tích thiết diện: $S(x)=x\left( {{e}^{x}}-1 \right)$.
Ta được: $V=\int\limits_{0}^{1}{S(x)dx}=\int\limits_{0}^{1}{x\left( {{e}^{x}}-1 \right)dx}$.
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u=x \\
& dv=\left( {{e}^{x}}-1 \right)dx \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& du=dx \\
& v={{e}^{x}}-x \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có: $V=\left. x\left( {{e}^{x}}-1 \right) \right|_{0}^{1}-\int\limits_{0}^{1}{\left( {{e}^{x}}-x \right)dx}$
$=e-1-\left. \left( {{e}^{x}}-\dfrac{{{x}^{2}}}{2} \right) \right|_{0}^{1}$
$=e-1-\left( e-\dfrac{1}{2}-1 \right)$
$=\dfrac{1}{2}$.
Vậy $V=\dfrac{1}{2}$.
Ta được: $V=\int\limits_{0}^{1}{S(x)dx}=\int\limits_{0}^{1}{x\left( {{e}^{x}}-1 \right)dx}$.
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u=x \\
& dv=\left( {{e}^{x}}-1 \right)dx \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& du=dx \\
& v={{e}^{x}}-x \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có: $V=\left. x\left( {{e}^{x}}-1 \right) \right|_{0}^{1}-\int\limits_{0}^{1}{\left( {{e}^{x}}-x \right)dx}$
$=e-1-\left. \left( {{e}^{x}}-\dfrac{{{x}^{2}}}{2} \right) \right|_{0}^{1}$
$=e-1-\left( e-\dfrac{1}{2}-1 \right)$
$=\dfrac{1}{2}$.
Vậy $V=\dfrac{1}{2}$.
Đáp án B.