Google
Câu hỏi: Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp một hình lăng trụ tam giác đều có các cạnh đều bằng a.
A. ${\dfrac{{7\pi {a^2}}}{5}}$.
B. ${\dfrac{{3\pi {a^2}}}{7}}$.
C. ${\dfrac{{7\pi {a^2}}}{3}}$.
D. ${\dfrac{{7\pi {a^2}}}{6}}$.
$ABC.A'B'C'$ là hình lăng trụ đều, tâm các đáy là $E,E',I$ là trung điểm $EE'.$
Do $EE'$ vuông góc với các mặt đáy và đi qua tâm các tam giác đáy nên mọi điểm nằm trên $EE'$ đều cách đều các đỉnh của hình lăng trụ.
Vậy là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ, bán kính mặt cầu là $IB$
$I{{B}^{2}}=I{{E}^{2}}+E{{B}^{2}}={{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}=\dfrac{21{{a}^{2}}}{36}\Rightarrow IB=\dfrac{a\sqrt{21}}{6}$
Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ là : $S=4\pi {{R}^{2}}=4\pi \dfrac{21{{a}^{2}}}{36}=\dfrac{7\pi {{a}^{2}}}{3}$
A. ${\dfrac{{7\pi {a^2}}}{5}}$.
B. ${\dfrac{{3\pi {a^2}}}{7}}$.
C. ${\dfrac{{7\pi {a^2}}}{3}}$.
D. ${\dfrac{{7\pi {a^2}}}{6}}$.
$ABC.A'B'C'$ là hình lăng trụ đều, tâm các đáy là $E,E',I$ là trung điểm $EE'.$
Do $EE'$ vuông góc với các mặt đáy và đi qua tâm các tam giác đáy nên mọi điểm nằm trên $EE'$ đều cách đều các đỉnh của hình lăng trụ.
Vậy là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ, bán kính mặt cầu là $IB$
$I{{B}^{2}}=I{{E}^{2}}+E{{B}^{2}}={{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}=\dfrac{21{{a}^{2}}}{36}\Rightarrow IB=\dfrac{a\sqrt{21}}{6}$
Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ là : $S=4\pi {{R}^{2}}=4\pi \dfrac{21{{a}^{2}}}{36}=\dfrac{7\pi {{a}^{2}}}{3}$
Đáp án C.