Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x.{{\ln...

Phương pháp:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ a;b \right],$ trục hoành và hai đường thẳng $x=a,x=b$ được xác định $S=\int\limits_{a}^{b}{\left| f\left( x \right) \right|dx}.$
Cách giải:
Diện tích hình phẳng cần tính bằng $S=\int\limits_{1}^{e}{x{{\ln }^{2}}xd}x.$
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u={{\ln }^{2}}x \\
& dv=xdx \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& du=\dfrac{2\ln x}{x}dx \\
& v=\dfrac{1}{2}{{x}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow S=\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}\ln x\left| \begin{aligned}
& e \\
& 1 \\
\end{aligned} \right.-\int\limits_{1}^{e}{x\ln xdx}=\dfrac{1}{2}{{e}^{2}}-\int\limits_{1}^{e}{x\ln xdx}$
Tính ${{S}_{1}}=\int\limits_{1}^{e}{x\ln xdx};$ Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u=\ln x \\
& dv=xdx \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& du=\dfrac{1}{x}dx \\
& v=\dfrac{1}{2}{{x}^{2}} \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow {{S}_{1}}=\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}\ln x\left| \begin{aligned}
& e \\
& 1 \\
\end{aligned} \right.-\dfrac{1}{2}\int\limits_{1}^{e}{xdx}=\dfrac{1}{2}{{e}^{2}}-\dfrac{1}{2}\int\limits_{1}^{e}{xdx}=\dfrac{1}{2}{{e}^{2}}-\dfrac{1}{4}{{x}^{2}}\left| \begin{aligned}
& e \\
& 1 \\
\end{aligned} \right.=\dfrac{1}{4}{{e}^{2}}+\dfrac{1}{4}.$
Vậy $S=\dfrac{1}{2}{{e}^{2}}-\left( \dfrac{1}{4}{{e}^{2}}+\dfrac{1}{4} \right)=\dfrac{1}{4}\left( {{e}^{2}}-1 \right).$