Tìm tất cả giá trị thực của tham số $m$ sao cho khoảng $(2;3)$ thuộc tập nghiệm của bất phương trình ${{\log }_{5}}\left( {{x}^{2}}+1...

Điều kiện xác định: $x^2+4x+m>0.$
Với điều kiện trên, bất phương trình tương đương với $5(x^2+1)>(x^2+4x+m).$
Để khoảng $(2;3)$ thuộc tập nghiệm của bất phương trình thì hệ bất phương trình $\{\begin{array}{rl}& x^2+4x+m>0\\ & 5(x^2+1)>(x^2+4x+m)\end{array}$ nghiệm đúng với mọi $x\in (2;3).$
$\iff \{\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=x^2+4x>-m\\ & g\left(x\right)=4x^2-4x+5>m\end{array}$ nghiệm đúng với mọi $x\in (2;3).$
Xét hàm số $f\left(x\right)=x^2+4x$ trên khoảng $(2;3)$ có $f^{\prime }\left(x\right)=2x+4>0,\mathrm{\forall }x\in (2;3)$ suy ra $f\left(x\right)>f\left(2\right)=12.$ Do đó $12\ge -m\iff m\ge -12$
Xét hàm số $g\left(x\right)=4x^2-4x+5$ trên khoảng $(2;3)$ có $g^{\prime }\left(x\right)=8x-4>0,\mathrm{\forall }x\in (2;3)$ suy ra $g\left(x\right)>g\left(2\right)=13.$ Do đó $13\ge m\iff m\le 13.$