Tìm tất cả giá trị thực của tham số $m$ sao cho khoảng $\left( 2;3 \right)$ thuộc tập nghiệm của bất phương trình ${{\log }_{5}}\left( {{x}^{2}}+1...

Điều kiện xác định: ${{x}^{2}}+4x+m>0.$
Với điều kiện trên, bất phương trình tương đương với $5\left( {{x}^{2}}+1 \right)>\left( {{x}^{2}}+4x+m \right).$
Để khoảng $\left( 2;3 \right)$ thuộc tập nghiệm của bất phương trình thì hệ bất phương trình $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+4x+m>0 \\
& 5\left( {{x}^{2}}+1 \right)>\left( {{x}^{2}}+4x+m \right) \\
\end{aligned} \right. $ nghiệm đúng với mọi $ x\in \left( 2;3 \right).$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& f\left( x \right)={{x}^{2}}+4x>-m \\
& g\left( x \right)=4{{x}^{2}}-4x+5>m \\
\end{aligned} \right. $ nghiệm đúng với mọi $ x\in \left( 2;3 \right).$
Xét hàm số $f\left( x \right)={{x}^{2}}+4x$ trên khoảng $\left( 2;3 \right)$ có $f'\left( x \right)=2x+4>0,\forall x\in \left( 2;3 \right)$ suy ra $f\left( x \right)>f\left( 2 \right)=12.$ Do đó $12\ge -m\Leftrightarrow m\ge -12$
Xét hàm số $g\left( x \right)=4{{x}^{2}}-4x+5$ trên khoảng $\left( 2;3 \right)$ có $g'\left( x \right)=8x-4>0,\forall x\in \left( 2;3 \right)$ suy ra $g\left( x \right)>g\left( 2 \right)=13.$ Do đó $13\ge m\Leftrightarrow m\le 13.$