Google
Câu hỏi: Tìm tất cả giá trị $m$ để phương trình $\left( m-1 \right)\log _{\dfrac{1}{2}}^{2}\left( x-2 \right)-\left( m-5 \right){{\log }_{\dfrac{1}{2}}}\left( x-2 \right)+m-1=0$ có đúng hai nghiệm thực thuộc $\left( 2\ ;\ 4 \right)$.
A. $-3<m<1$.
B. $-3<m\le 1$.
C. $-3<m<\dfrac{7}{3}$.
D. $-3<m\le \dfrac{7}{3}$.
A. $-3<m<1$.
B. $-3<m\le 1$.
C. $-3<m<\dfrac{7}{3}$.
D. $-3<m\le \dfrac{7}{3}$.
Phương trình $\Leftrightarrow \left( m-1 \right)\log _{2}^{2}\left( x-2 \right)+\left( m-5 \right){{\log }_{2}}\left( x-2 \right)+m-1=0$.
Đặt ${{\log }_{2}}\left( x-2 \right)=t$ với $x\in \left( 2\ ;\ 4 \right)\Rightarrow t\in \left( -\infty ;\ 1 \right)$.
Khi đó phương trình trở thành $\left( m-1 \right){{t}^{2}}+\left( m-5 \right)t+m-1=0\ (*)$
Yêu cầu bài toán tương đương phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 1.
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a\ne 0 \\
& \Delta >0 \\
& {{t}_{1}}+{{t}_{2}}<2 \\
& \left( {{t}_{1}}-1 \right)\left( {{t}_{2}}-1 \right)>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\ne 1 \\
& -3{{m}^{2}}-2m+21>0 \\
& \dfrac{-\left( m-5 \right)}{m-1}<2 \\
& {{t}_{1}}{{t}_{2}}-\left( {{t}_{1}}+{{t}_{2}} \right)+1>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\ne 1 \\
& m\in \left( -3;\ \dfrac{7}{3} \right) \\
& \dfrac{-3m+7}{m-1}<0 \\
& 1+\dfrac{m-5}{m-1}+1>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\ne 1 \\
& m\in \left( -3;\ \dfrac{7}{3} \right) \\
& m\in \left( -\infty ;\ 1 \right)\cup \left( \dfrac{7}{3};\ +\infty \right) \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow m\in \left( -3;\ 1 \right)$.
Đặt ${{\log }_{2}}\left( x-2 \right)=t$ với $x\in \left( 2\ ;\ 4 \right)\Rightarrow t\in \left( -\infty ;\ 1 \right)$.
Khi đó phương trình trở thành $\left( m-1 \right){{t}^{2}}+\left( m-5 \right)t+m-1=0\ (*)$
Yêu cầu bài toán tương đương phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 1.
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a\ne 0 \\
& \Delta >0 \\
& {{t}_{1}}+{{t}_{2}}<2 \\
& \left( {{t}_{1}}-1 \right)\left( {{t}_{2}}-1 \right)>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\ne 1 \\
& -3{{m}^{2}}-2m+21>0 \\
& \dfrac{-\left( m-5 \right)}{m-1}<2 \\
& {{t}_{1}}{{t}_{2}}-\left( {{t}_{1}}+{{t}_{2}} \right)+1>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\ne 1 \\
& m\in \left( -3;\ \dfrac{7}{3} \right) \\
& \dfrac{-3m+7}{m-1}<0 \\
& 1+\dfrac{m-5}{m-1}+1>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\ne 1 \\
& m\in \left( -3;\ \dfrac{7}{3} \right) \\
& m\in \left( -\infty ;\ 1 \right)\cup \left( \dfrac{7}{3};\ +\infty \right) \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow m\in \left( -3;\ 1 \right)$.
Đáp án A.