Tìm tất cả giá trị $m$ để phương trình $\left(m-1 \right)\log _{\dfrac{1}{2}}^{2}\left(x-2 \right)-\left(m-5 \right){{\log...

The Collectors · 31/5/21

Câu hỏi: Tìm tất cả giá trị

m

để phương trình

(m - 1) \log_{\frac{1}{2}}^{2} (x - 2) - (m - 5) \log_{\frac{1}{2}} (x - 2) + m - 1 = 0

có đúng hai nghiệm thực thuộc

(2; 4)

.
A.

- 3 < m < 1

.
B.

- 3 < m \leq 1

.
C.

- 3 < m < \frac{7}{3}

.
D.

- 3 < m \leq \frac{7}{3}

.

Phương trình

\Leftrightarrow (m - 1) \log_{2}^{2} (x - 2) + (m - 5) \log_{2} (x - 2) + m - 1 = 0

.
Đặt

\log_{2} (x - 2) = t

với

x \in (2; 4) \Rightarrow t \in (- \infty; 1)

.
Khi đó phương trình trở thành

(m - 1) t^{2} + (m - 5) t + m - 1 = 0 (*)

Yêu cầu bài toán tương đương phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 1.

\Leftrightarrow {\begin{aligned} a \neq 0 \\ Δ > 0 \\ t_{1} + t_{2} < 2 \\ (t_{1} - 1) (t_{2} - 1) > 0 \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} m \neq 1 \\ - 3 m^{2} - 2 m + 21 > 0 \\ \frac{- (m - 5)}{m - 1} < 2 \\ t_{1} t_{2} - (t_{1} + t_{2}) + 1 > 0 \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} m \neq 1 \\ m \in (- 3; \frac{7}{3}) \\ \frac{- 3 m + 7}{m - 1} < 0 \\ 1 + \frac{m - 5}{m - 1} + 1 > 0 \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} m \neq 1 \\ m \in (- 3; \frac{7}{3}) \\ m \in (- \infty; 1) \cup (\frac{7}{3}; + \infty) \end{aligned}

\Leftrightarrow m \in (- 3; 1)

.

Đáp án A.

Tìm tất cả giá trị m để phương trình $\left(m-1 \right)\log _{\dfrac{1}{2}}^{2}\left(x-2 \right)-\left(m-5 \right){{\log...