Tìm tất cả giá trị của ham số $m$ để phương trình $m{{.9}^{{{x}^{2}}+1}}+{{4}^{{{x}^{2}}}}=0$ có nghiệm.

$m{{.9}^{{{x}^{2}}}}-{{6}^{{{x}^{2}}+1}}+{{4}^{{{x}^{2}}}}=0\Leftrightarrow m-6.{{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{{{x}^{2}}}}+{{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{2{{x}^{2}}}}=0\left( 1 \right).$
Đặt $t={{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{{{x}^{2}}}}\left( 0<t\le 1 \right).$ Phương trình trở thành ${{t}^{2}}-6t+m=0\Leftrightarrow m=6t-{{t}^{2}}$.
Phương trình (1) có nghiệm $\Leftrightarrow $ phương trình (2) có nghiệm trên $(0;1]$
Xét hàm số $f(t)=6t-{{t}^{2}}$ trên $(0;1]$
$f'(t)=6-2t;f'(t)>0\Leftrightarrow 6-2t>0\Leftrightarrow t<3$
$\Rightarrow $ Hàm số $f(t)$ đồng biến trên $(0;1]$ $\Rightarrow f(0)<f(t)\le f(1)\Rightarrow 0<m\le 5$
Vậy với $0<m\le 5$ thì phương trình $m{{.9}^{{{x}^{2}}}}-{{6}^{{{x}^{2}}+1}}+{{4}^{{{x}^{2}}}}=0$ có nghiệm.