Google
Câu hỏi: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ sao cho đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-9x+m$ cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt
A. $m>27$.
B. $-5\le m\le 27$.
C. $-5<m<27$.
D. $-27<m<5$.
A. $m>27$.
B. $-5\le m\le 27$.
C. $-5<m<27$.
D. $-27<m<5$.
Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-9x+m$ với trục hoành là : ${{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-9x+m=0\Leftrightarrow {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-9x=-m$ $\left( 1 \right)$.
Số nghiệm của $\left( 1 \right)$ bằng số giao điểm của đồ thị hàm số $g\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-9x$ với đường thẳng ${{d}_{m}}: y=-m$.
Xét hàm số $g\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-9x$. Ta có ${g}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-6x-9$.
${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-6x-9=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& x=3 \\
\end{aligned} \right.$.
Bảng biến thiên
Đồ thị của hàm số $g\left( x \right)$ cắt ${{d}_{m}}$ tại $3$ điểm phân biệt $\Leftrightarrow -27<-m<5\Leftrightarrow -5<m<27$.
Số nghiệm của $\left( 1 \right)$ bằng số giao điểm của đồ thị hàm số $g\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-9x$ với đường thẳng ${{d}_{m}}: y=-m$.
Xét hàm số $g\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-9x$. Ta có ${g}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-6x-9$.
${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-6x-9=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& x=3 \\
\end{aligned} \right.$.
Bảng biến thiên
Đồ thị của hàm số $g\left( x \right)$ cắt ${{d}_{m}}$ tại $3$ điểm phân biệt $\Leftrightarrow -27<-m<5\Leftrightarrow -5<m<27$.
Đáp án C.