Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $\log _{3}^{2}x+\sqrt{\log _{3}^{2}+1}-2m-1=0$ có ít nhất một nghiệm thực thuộc đoạn...

Phương pháp:
- Đặt ẩn phụ $\sqrt{\log _{3}^{2}x+1}=t,t\in \left[ 1;2 \right],$ đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai ẩn $t.$
- Cô lập $m,$ đưa phương trình về dạng $m=f\left( t \right)$ có nghiệm $t\in \left[ 1;2 \right].$ Khi đó $m\in \left[ \underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\min }} f\left( t \right);\underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\max }} f\left( t \right) \right].$
-Sử dụng phương pháp hàm số để tìm $\underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\min }} f\left( t \right);\underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\max }} f\left( t \right).$
Cách giải:
Đặt $\sqrt{\log _{3}^{2}x+1}=t.$ Với $x\in \left[ 1;{{3}^{\sqrt{3}}} \right]\Rightarrow {{\log }_{3}}x\in \left[ 0;\sqrt{3} \right]\Rightarrow t\in \left[ 1;2 \right].$
Khi đó bài toán trở thành:
Tìm $m$ để phương trình ${{t}^{2}}+t-2m-2=0\Rightarrow {{t}^{2}}+t-2=2m\left( * \right)$ có nghiệm $t\in \left[ 1;2 \right].$
Xét $f\left( t \right)={{t}^{2}}+t-2$ với $t\in \left[ 1;2 \right]$ ta có: $f'\left( t \right)=2t+1=0\Rightarrow t=-\dfrac{1}{2}\notin \left[ 1;2 \right].$
Ta có $f\left( 1 \right)=0,f\left( 2 \right)=4\Rightarrow \underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\min }} f\left( t \right)=0;\underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\min }} f\left( t \right)=4.$
Vậy khi đó để phương trình (*) có nghiệm $t\in \left[ 2;4 \right]$ thì $\underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\min }} f\left( t \right)\le m\le \underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\max }} f\left( t \right)\Leftrightarrow 0\le 2m\le 4\Leftrightarrow 0\le m\le 2$
Vậy $m\in \left[ 0;2 \right].$