Google
Câu hỏi: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình ${{9}^{x}}-\left( m-1 \right){{.3}^{x}}-m-1=0$ có nghiệm thuộc khoảng $\left( 0;1 \right).$
A. $1<m<\dfrac{5}{4}.$
B. $\dfrac{1}{3}<m<\dfrac{11}{4}.$
C. $\dfrac{5}{4}<m<\dfrac{7}{4}.$
D. $\dfrac{1}{2}<m<\dfrac{11}{4}.$
A. $1<m<\dfrac{5}{4}.$
B. $\dfrac{1}{3}<m<\dfrac{11}{4}.$
C. $\dfrac{5}{4}<m<\dfrac{7}{4}.$
D. $\dfrac{1}{2}<m<\dfrac{11}{4}.$
Đặt $t={{3}^{x}};x\in \left( 0;1 \right)\Rightarrow t\in \left( 1;3 \right).$
Phương trình trở thành:
${{t}^{2}}-\left( m-1 \right)t-m-1=0$
$\Leftrightarrow {{t}^{2}}+t-1=m\left( t+1 \right)$
$\Leftrightarrow m=\dfrac{{{t}^{2}}+t-1}{t+1}=t-\dfrac{1}{t+1}\left( * \right)$
Phương trình đã cho có nghiệm thuộc khoảng $\left( 0;1 \right)\Leftrightarrow $ Phương trình $\left( * \right)$ có nghiệm thuộc khoảng $\left( 1;3 \right)$.
Xét $f\left( t \right)=t-\dfrac{1}{t+1}$ trên $\left( 1;3 \right)$
$f'\left( t \right)=1+\dfrac{1}{{{\left( t+1 \right)}^{2}}}>0,\forall t\in \left( 1;3 \right)$
Phương trình $\left( * \right)$ có nghiệm thuộc khoảng $\left( 1;3 \right)\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}<m<\dfrac{11}{4}.$
Phương trình trở thành:
${{t}^{2}}-\left( m-1 \right)t-m-1=0$
$\Leftrightarrow {{t}^{2}}+t-1=m\left( t+1 \right)$
$\Leftrightarrow m=\dfrac{{{t}^{2}}+t-1}{t+1}=t-\dfrac{1}{t+1}\left( * \right)$
Phương trình đã cho có nghiệm thuộc khoảng $\left( 0;1 \right)\Leftrightarrow $ Phương trình $\left( * \right)$ có nghiệm thuộc khoảng $\left( 1;3 \right)$.
Xét $f\left( t \right)=t-\dfrac{1}{t+1}$ trên $\left( 1;3 \right)$
$f'\left( t \right)=1+\dfrac{1}{{{\left( t+1 \right)}^{2}}}>0,\forall t\in \left( 1;3 \right)$
Phương trình $\left( * \right)$ có nghiệm thuộc khoảng $\left( 1;3 \right)\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}<m<\dfrac{11}{4}.$
Đáp án D.