Google
Câu hỏi: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số ${m}$ để hàm số $y=-{{x}^{4}}+2\left( m-1 \right){{x}^{2}}+2-m$ nghịch biến trên khoảng $\left( 1;3 \right)$.
A. $m\in \left( -\infty ;10 \right)$.
B. $m\in \left( -\infty ;10 \right]$.
C. $m\in \left( -\infty ;2 \right]$.
D. $m\in \left( -\infty ;2 \right)$.
A. $m\in \left( -\infty ;10 \right)$.
B. $m\in \left( -\infty ;10 \right]$.
C. $m\in \left( -\infty ;2 \right]$.
D. $m\in \left( -\infty ;2 \right)$.
Ta có ${y}'=-4{{x}^{3}}+4\left( m-1 \right)x$.
Hàm số $y=-{{x}^{4}}+2\left( m-1 \right){{x}^{2}}+2-m$ nghịch biến trên khoảng $\left( 1;3 \right)$ $\Leftrightarrow {y}'\le 0,\forall x\in \left( 1;3 \right)$ $\Leftrightarrow -4{{x}^{3}}+4\left( m-1 \right)x\le 0,\forall x\in \left( 1;3 \right)$ $\Leftrightarrow m\le {{x}^{2}}+1,\forall x\in \left( 1;3 \right)$.
Xét $g\left( x \right)={{x}^{2}}+1$ với $x\in \left( 1;3 \right)$ có ${g}'\left( x \right)=2x>0,\forall x\in \left( 1;3 \right)$.
Do đó $m\le g\left( 1 \right)=2$.
Vậy $m\in \left( -\infty ;2 \right]$.
Hàm số $y=-{{x}^{4}}+2\left( m-1 \right){{x}^{2}}+2-m$ nghịch biến trên khoảng $\left( 1;3 \right)$ $\Leftrightarrow {y}'\le 0,\forall x\in \left( 1;3 \right)$ $\Leftrightarrow -4{{x}^{3}}+4\left( m-1 \right)x\le 0,\forall x\in \left( 1;3 \right)$ $\Leftrightarrow m\le {{x}^{2}}+1,\forall x\in \left( 1;3 \right)$.
Xét $g\left( x \right)={{x}^{2}}+1$ với $x\in \left( 1;3 \right)$ có ${g}'\left( x \right)=2x>0,\forall x\in \left( 1;3 \right)$.
Do đó $m\le g\left( 1 \right)=2$.
Vậy $m\in \left( -\infty ;2 \right]$.
Đáp án C.