Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}-9{{m}^{2}}x$ nghịch biến trên khoảng $\left(0; 1 \right)$.

Cách 1.
Tập xác định $D=\mathbb{R}$.
Có $y'=3{{x}^{2}}-6mx-9{{m}^{2}}$ ; $y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-m \\
& x=3m \\
\end{aligned} \right.$.
+) Trường hợp 1. $-m=3m\Leftrightarrow m=0$
Ta có $y'=3{{x}^{2}}\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$, suy ra hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$. Do đó loại $m=0$.
+) Trường hợp 2. $-m<3m\Leftrightarrow m>0$
Ta có bảng xét dấu $y'$ như sau.

Hàm số nghịch biến trên $\left( 0; 1 \right)$ khi và chỉ khi $-m\le 0<1\le 3m\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\ge 0 \\
& m\ge \dfrac{1}{3} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m\ge \dfrac{1}{3}$.
+) Trường hợp 3. $-m>3m\Leftrightarrow m<0$
Ta có bảng xét dấu $y'$ như sau.

Hàm số nghịch biến trên $\left( 0; 1 \right)$ khi và chỉ khi $3m\le 0<1\le -m\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\le 0 \\
& m\le -1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m\le -1$.
Kết luận $m\ge \dfrac{1}{3}$ hoặc $m\le -1$.
Cách 2.
Tập xác định $D=\mathbb{R}$.
Có $y'=3{{x}^{2}}-6mx-9{{m}^{2}}$ ; $\Delta '=36{{m}^{2}}\ge 0,\forall m$.
Trường hợp 1. $\Delta '=0\Leftrightarrow m=0.$
Ta có $y'=3{{x}^{2}}\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$, suy ra hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$. Do đó loại $m=0$.
Trường hợp 2. $\Delta '>0\Leftrightarrow m\ne 0$.
Khi đó $y'$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}\left( {{x}_{1}}<{{x}_{2}} \right)$. Ta có. $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m \\
& {{x}_{1}}{{x}_{2}}=-3{{m}^{2}} \\
\end{aligned} \right.$
Bảng xét dấu

Hàm số nghịch biến trên $\left( 0; 1 \right)$ khi và chỉ khi ${{x}_{1}}\le 0<1\le {{x}_{2}}$.
Ta có. ${{x}_{1}}\le 0<1\le {{x}_{2}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}.{{x}_{2}}\le 0 \\
& \left( {{x}_{1}}-1 \right)\left( {{x}_{2}}-1 \right)\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}{{x}_{2}}\le 0 \\
& {{x}_{1}}{{x}_{2}}-\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+1\le 0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -3{{m}^{2}}\le 0 \\
& -3{{m}^{2}}-2m+1\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\ne 0 \\
& \left[ \begin{aligned}
& m\le -1 \\
& m\ge \dfrac{1}{3} \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m\le -1 \\
& m\ge \dfrac{1}{3} \\
\end{aligned} \right.$.
Kết luận $m\ge \dfrac{1}{3}$ hoặc $m\le -1$.
Nhận xét. Trong trường hợp thứ 2 ở cách trên ta có thể giải quyết điều kiện ${{x}_{1}}\le 0<1\le {{x}_{2}}$ bằng cách sau.
Ta có ${{x}_{1}}\le 0<1\le {{x}_{2}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& y'\left( 0 \right)\le 0 \\
& y'\left( 1 \right)\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -9{{m}^{2}}\le 0 \\
& -9{{m}^{2}}-6m+3\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\ne 0 \\
& \left[ \begin{aligned}
& m\le -1 \\
& m\ge \dfrac{1}{3} \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m\le -1 \\
& m\ge \dfrac{1}{3} \\
\end{aligned} \right.$.