Google
Câu hỏi: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y=\dfrac{4}{3}{{\sin }^{3}}2x+2{{\cos }^{2}}2x-\left( {{m}^{2}}+3m \right)\sin 2x-1$ nghịch biến trên khoảng $\left( 0;\dfrac{\pi }{4} \right).$
A. $m\le \dfrac{-3-\sqrt{5}}{2}$ hoặc $m\ge \dfrac{-3+\sqrt{5}}{2}.$
B. $m\le -3$ hoặc $m\ge 0.$
C. $-3\le m\le 0.$
D. $\dfrac{-3-\sqrt{5}}{2}\le m\le \dfrac{-3+\sqrt{5}}{2}.$
A. $m\le \dfrac{-3-\sqrt{5}}{2}$ hoặc $m\ge \dfrac{-3+\sqrt{5}}{2}.$
B. $m\le -3$ hoặc $m\ge 0.$
C. $-3\le m\le 0.$
D. $\dfrac{-3-\sqrt{5}}{2}\le m\le \dfrac{-3+\sqrt{5}}{2}.$
Ta có $y=\dfrac{4}{3}{{\sin }^{3}}2x+2{{\cos }^{2}}2x-\left( {{m}^{2}}+3m \right)\sin 2x-1$ hay $y=\dfrac{4}{3}{{\sin }^{3}}2x-2{{\sin }^{2}}2x-\left( {{m}^{2}}+3m \right)\sin 2x+1$ do vậy $y'=2\left[ 4{{\sin }^{2}}2x-4\sin 2x-\left( {{m}^{2}}+3m \right) \right]\cos 2x.$
Với $\forall x\in \left( 0;\dfrac{\pi }{4} \right)$ ta có $\cos 2x>0$ vì vậy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\left( 0;\dfrac{\pi }{4} \right)$ khi và chỉ khi $y'\ge 0,\forall x\in \left( 0;\dfrac{\pi }{4} \right)\Leftrightarrow 4{{\sin }^{2}}2x-4\sin 2x-\left( {{m}^{2}}+3m \right)\ge 0,\forall x\in \left( 0;\dfrac{\pi }{4} \right).$
Đặt $t=\sin 2x$ với $\forall x\in \left( 0;\dfrac{\pi }{4} \right)$ ta được $t\in \left( 0;1 \right)$ do vậy ta có bất phương trình
$4{{t}^{2}}-4t-\left( {{m}^{2}}+3m \right)\ge 0,\forall t\in \left( 0;1 \right)\Leftrightarrow 4{{t}^{2}}-4t\ge {{m}^{2}}+3m,\forall t\in \left( 0;1 \right).$
Xét hàm số $g\left( t \right)=4{{t}^{2}}-4t$ ta có bảng biến thiên như sau
Qua bảng ta cần có ${{m}^{2}}+3m\le 1\Leftrightarrow {{m}^{2}}+3m-1\le 0\Leftrightarrow \dfrac{-3-\sqrt{5}}{2}\le m\le \dfrac{-3+\sqrt{5}}{2}.$
Với $\forall x\in \left( 0;\dfrac{\pi }{4} \right)$ ta có $\cos 2x>0$ vì vậy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\left( 0;\dfrac{\pi }{4} \right)$ khi và chỉ khi $y'\ge 0,\forall x\in \left( 0;\dfrac{\pi }{4} \right)\Leftrightarrow 4{{\sin }^{2}}2x-4\sin 2x-\left( {{m}^{2}}+3m \right)\ge 0,\forall x\in \left( 0;\dfrac{\pi }{4} \right).$
Đặt $t=\sin 2x$ với $\forall x\in \left( 0;\dfrac{\pi }{4} \right)$ ta được $t\in \left( 0;1 \right)$ do vậy ta có bất phương trình
$4{{t}^{2}}-4t-\left( {{m}^{2}}+3m \right)\ge 0,\forall t\in \left( 0;1 \right)\Leftrightarrow 4{{t}^{2}}-4t\ge {{m}^{2}}+3m,\forall t\in \left( 0;1 \right).$
Xét hàm số $g\left( t \right)=4{{t}^{2}}-4t$ ta có bảng biến thiên như sau
Qua bảng ta cần có ${{m}^{2}}+3m\le 1\Leftrightarrow {{m}^{2}}+3m-1\le 0\Leftrightarrow \dfrac{-3-\sqrt{5}}{2}\le m\le \dfrac{-3+\sqrt{5}}{2}.$
Đáp án D.