Google
Câu hỏi: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y=\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-\left( m-1 \right){{x}^{2}}-4mx$ đồng biến trên đoạn $\left[ 1;4 \right].$
A. $\dfrac{1}{2}<m<2$
B. $m\in \mathbb{R}$
C. $m\le 2$
D. $m\le \dfrac{1}{2}.$
A. $\dfrac{1}{2}<m<2$
B. $m\in \mathbb{R}$
C. $m\le 2$
D. $m\le \dfrac{1}{2}.$
Ta có: $y'={{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x-4m.$
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow y'\ge 0,\forall x\in \left[ 1;4 \right]\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x-4m\ge 0,\forall x\in \left[ 1;4 \right]$
$\Leftrightarrow 2m\left( x+2 \right)\le {{x}^{2}}+2x,\forall x\in \left[ 1;4 \right]\Leftrightarrow 2m\left( x+2 \right)\le x\left( x+2 \right),\forall x\in \left[ 1;4 \right]\Leftrightarrow m\le \dfrac{x}{2},\forall x\in \left[ 1;4 \right]$
$\Leftrightarrow m\le \underset{\left[ 1;4 \right]}{\mathop{\min }} \left( \dfrac{x}{2} \right)=\dfrac{1}{2}.$ Vậy $m\le \dfrac{1}{2}.$
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow y'\ge 0,\forall x\in \left[ 1;4 \right]\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x-4m\ge 0,\forall x\in \left[ 1;4 \right]$
$\Leftrightarrow 2m\left( x+2 \right)\le {{x}^{2}}+2x,\forall x\in \left[ 1;4 \right]\Leftrightarrow 2m\left( x+2 \right)\le x\left( x+2 \right),\forall x\in \left[ 1;4 \right]\Leftrightarrow m\le \dfrac{x}{2},\forall x\in \left[ 1;4 \right]$
$\Leftrightarrow m\le \underset{\left[ 1;4 \right]}{\mathop{\min }} \left( \dfrac{x}{2} \right)=\dfrac{1}{2}.$ Vậy $m\le \dfrac{1}{2}.$
Đáp án D.