Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y=3{{\cos }^{4}}x+\dfrac{3}{2}{{\sin }^{2}}x+m\cos x-\dfrac{5}{2}$ đồng biến trên $\left(...

$y=3{{\cos }^{4}}x+\dfrac{3}{2}{{\sin }^{2}}x+m\cos x-\dfrac{5}{2}\Leftrightarrow y=3{{\cos }^{4}}x-\dfrac{3}{2}{{\cos }^{2}}x+m\cos x-1$
Đặt $t=\cos x.$ Vì $x\in \left( \dfrac{\pi }{3};\dfrac{2\pi }{3} \right]$ nên $t\in \left[ -\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2} \right).$
Hàm số trở thành $f\left( t \right)=3{{t}^{4}}-\dfrac{3}{2}{{t}^{2}}+mt-1,f'\left( t \right)=12{{t}^{3}}-3t+m$
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow f\left( t \right)$ nghịch biến trên $\left[ -\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2} \right)\Leftrightarrow f'\left( t \right)\le 0,\forall t\in \left[ -\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2} \right)(f'\left( t \right)=0$ chỉ tại một số điểm) $\Leftrightarrow 12{{t}^{3}}-3t+m\le 0\forall t\in \left[ -\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2} \right)\Leftrightarrow m\le -12{{t}^{3}}+3t\forall t\in \left[ -\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2} \right)$
Đặt $g\left( t \right)=-12{{t}^{3}}+3t,g'\left( t \right)=-36{{t}^{2}}+3,g'\left( t \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=\dfrac{\sqrt{3}}{6}\in \left[ -\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2} \right) \\
& t=-\dfrac{\sqrt{3}}{6}\in \left[ -\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2} \right) \\
\end{aligned} \right.$
Ta có
Dựa vào bảng biến thiên $m\le -\dfrac{\sqrt{3}}{3}.$