Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = 3 \cos^{4} x + \frac{3}{2} \sin^{2} x + m \cos x - \frac{5}{2}$ đồng biến trên $\left(...

The Collectors · 30/5/21

Câu hỏi: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

m

để hàm số

y = 3 \cos^{4} x + \frac{3}{2} \sin^{2} x + m \cos x - \frac{5}{2}

đồng biến trên

(\frac{3}{2}; \frac{2 π}{3}] .

A.

m \leq - \frac{1}{\sqrt{3}} .

B.

m \geq - \frac{1}{\sqrt{3}} .

C.

m < - \frac{1}{\sqrt{3}} .

D.

m > - \frac{1}{\sqrt{3}} .

y = 3 \cos^{4} x + \frac{3}{2} \sin^{2} x + m \cos x - \frac{5}{2} \Leftrightarrow y = 3 \cos^{4} x - \frac{3}{2} \cos^{2} x + m \cos x - 1

Đặt

t = \cos x .

Vì

x \in (\frac{π}{3}; \frac{2 π}{3}]

nên

t \in [- \frac{1}{2}; \frac{1}{2}) .

Hàm số trở thành

f (t) = 3 t^{4} - \frac{3}{2} t^{2} + m t - 1, f^{'} (t) = 12 t^{3} - 3 t + m

Yêu cầu bài toán

\Leftrightarrow f (t)

nghịch biến trên

[- \frac{1}{2}; \frac{1}{2}) \Leftrightarrow f^{'} (t) \leq 0, \forall t \in [- \frac{1}{2}; \frac{1}{2}) (f^{'} (t) = 0

chỉ tại một số điểm)

\Leftrightarrow 12 t^{3} - 3 t + m \leq 0 \forall t \in [- \frac{1}{2}; \frac{1}{2}) \Leftrightarrow m \leq - 12 t^{3} + 3 t \forall t \in [- \frac{1}{2}; \frac{1}{2})

Đặt

g (t) = - 12 t^{3} + 3 t, g^{'} (t) = - 36 t^{2} + 3, g^{'} (t) = 0 \Leftrightarrow [\begin{aligned} t = \frac{\sqrt{3}}{6} \in [- \frac{1}{2}; \frac{1}{2}) \\ t = - \frac{\sqrt{3}}{6} \in [- \frac{1}{2}; \frac{1}{2}) \end{aligned}

Ta có

Dựa vào bảng biến thiên

m \leq - \frac{\sqrt{3}}{3} .

Đáp án A.

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y=3cos4x+32sin2x+mcos⁡x−52 đồng biến trên $\left(...