Google
Câu hỏi: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để đoạn $\left[ -\dfrac{2\pi }{3};\dfrac{\pi }{3} \right]$ là tập hợp con của tập nghiệm bất phương trình ${{\log }_{\dfrac{1}{5}}}\left( {{\cos }^{2}}x+1 \right)<{{\log }_{\dfrac{1}{5}}}\left( {{\cos }^{2}}x+4\cos x+m \right)+1.$
A. $m\in \left( \dfrac{7}{4};4 \right]$.
B. $m\in \left[ \dfrac{7}{4};4 \right)$.
C. $m\in \left( \dfrac{7}{4};4 \right)$.
D. $m\in \left[ \dfrac{7}{4};4 \right]$.
A. $m\in \left( \dfrac{7}{4};4 \right]$.
B. $m\in \left[ \dfrac{7}{4};4 \right)$.
C. $m\in \left( \dfrac{7}{4};4 \right)$.
D. $m\in \left[ \dfrac{7}{4};4 \right]$.
Để đoạn $\left[ -\dfrac{2\pi }{3};\dfrac{\pi }{3} \right]$ là tập hợp con của tập nghiệm bất phương trình ${{\log }_{\dfrac{1}{5}}}\left( {{\cos }^{2}}x+1 \right)<{{\log }_{\dfrac{1}{5}}}\left( {{\cos }^{2}}x+4\cos x+m \right)+1$ thì:
${{\log }_{\dfrac{1}{5}}}\left( {{\cos }^{2}}x+1 \right)<{{\log }_{\dfrac{1}{5}}}\left( {{\cos }^{2}}x+4\cos x+m \right)+1,\forall x\in \left[ -\dfrac{2\pi }{3};\dfrac{\pi }{3} \right]$
$\Leftrightarrow {{\log }_{\dfrac{1}{5}}}\left( {{\cos }^{2}}x+1 \right)<{{\log }_{\dfrac{1}{5}}}\left( \dfrac{{{\cos }^{2}}x+4\cos x+m}{5} \right),\forall x\in \left[ -\dfrac{2\pi }{3};\dfrac{\pi }{3} \right]$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\cos }^{2}}x+4\cos x+m>0 \\
& 5{{\cos }^{2}}x+5>{{\cos }^{2}}x+4\cos x+m \\
\end{aligned} \right.,\forall x\in \left[ -\dfrac{2\pi }{3};\dfrac{\pi }{3} \right]$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m>-{{\cos }^{2}}x-4\cos x \\
& m<4{{\cos }^{2}}x-4\cos x+5 \\
\end{aligned} \right.,\forall x\in \left[ -\dfrac{2\pi }{3};\dfrac{\pi }{3} \right]$$\left( 1 \right)$
Đặt $t=\cos x.$ Khi đó ta có (1) trở thành: $\left\{ \begin{aligned}
& m>-{{t}^{2}}-4t \\
& m<4{{t}^{2}}-4t+5 \\
\end{aligned} \right.,\forall t\in \left[ -\dfrac{1}{2};1 \right].$
+ Để $m>-{{t}^{2}}-4t,\forall t\in \left[ -\dfrac{1}{2};1 \right]\Leftrightarrow m>\underset{\left[ -\dfrac{1}{2};1 \right]}{\mathop{\max }} \left( -{{t}^{2}}-4t \right)\text{ }\left( 2 \right)$
Xét hàm số $f\left( -\dfrac{1}{2} \right)=\dfrac{7}{4};f\left( -1 \right)=-5.$ Do đó $\underset{\left[ -\dfrac{1}{2};1 \right]}{\mathop{\max }} f\left( t \right)=\dfrac{7}{4}.$ Nên $\left( 2 \right)\Leftrightarrow m>\dfrac{7}{4}.$
+ Để $m<4{{t}^{2}}-4t+5,\forall t\in \left[ -\dfrac{1}{2};1 \right]\Leftrightarrow m<\underset{\left[ -\dfrac{1}{2};1 \right]}{\mathop{\min }} \left( 4{{t}^{2}}-4t+5 \right)\text{ }\left( 3 \right)$
Xét hàm số $f\left( t \right)=4{{t}^{2}}-4t+5,\forall t\in \left[ -\dfrac{1}{2};1 \right].$ Ta có $g'\left( t \right)=8t-4=0\Leftrightarrow t=\dfrac{1}{2}.$
$g\left( -\dfrac{1}{2} \right)=8,g\left( 1 \right)=5,g\left( \dfrac{1}{2} \right)=4.$ Do đó $\underset{\left[ -\dfrac{1}{2};1 \right]}{\mathop{\min }} g\left( t \right)=4.$ Nên $\left( 3 \right)\Leftrightarrow m<4.$
Vậy $m\in \left( \dfrac{7}{4};4 \right)$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
${{\log }_{\dfrac{1}{5}}}\left( {{\cos }^{2}}x+1 \right)<{{\log }_{\dfrac{1}{5}}}\left( {{\cos }^{2}}x+4\cos x+m \right)+1,\forall x\in \left[ -\dfrac{2\pi }{3};\dfrac{\pi }{3} \right]$
$\Leftrightarrow {{\log }_{\dfrac{1}{5}}}\left( {{\cos }^{2}}x+1 \right)<{{\log }_{\dfrac{1}{5}}}\left( \dfrac{{{\cos }^{2}}x+4\cos x+m}{5} \right),\forall x\in \left[ -\dfrac{2\pi }{3};\dfrac{\pi }{3} \right]$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\cos }^{2}}x+4\cos x+m>0 \\
& 5{{\cos }^{2}}x+5>{{\cos }^{2}}x+4\cos x+m \\
\end{aligned} \right.,\forall x\in \left[ -\dfrac{2\pi }{3};\dfrac{\pi }{3} \right]$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m>-{{\cos }^{2}}x-4\cos x \\
& m<4{{\cos }^{2}}x-4\cos x+5 \\
\end{aligned} \right.,\forall x\in \left[ -\dfrac{2\pi }{3};\dfrac{\pi }{3} \right]$$\left( 1 \right)$
Đặt $t=\cos x.$ Khi đó ta có (1) trở thành: $\left\{ \begin{aligned}
& m>-{{t}^{2}}-4t \\
& m<4{{t}^{2}}-4t+5 \\
\end{aligned} \right.,\forall t\in \left[ -\dfrac{1}{2};1 \right].$
+ Để $m>-{{t}^{2}}-4t,\forall t\in \left[ -\dfrac{1}{2};1 \right]\Leftrightarrow m>\underset{\left[ -\dfrac{1}{2};1 \right]}{\mathop{\max }} \left( -{{t}^{2}}-4t \right)\text{ }\left( 2 \right)$
Xét hàm số $f\left( -\dfrac{1}{2} \right)=\dfrac{7}{4};f\left( -1 \right)=-5.$ Do đó $\underset{\left[ -\dfrac{1}{2};1 \right]}{\mathop{\max }} f\left( t \right)=\dfrac{7}{4}.$ Nên $\left( 2 \right)\Leftrightarrow m>\dfrac{7}{4}.$
+ Để $m<4{{t}^{2}}-4t+5,\forall t\in \left[ -\dfrac{1}{2};1 \right]\Leftrightarrow m<\underset{\left[ -\dfrac{1}{2};1 \right]}{\mathop{\min }} \left( 4{{t}^{2}}-4t+5 \right)\text{ }\left( 3 \right)$
Xét hàm số $f\left( t \right)=4{{t}^{2}}-4t+5,\forall t\in \left[ -\dfrac{1}{2};1 \right].$ Ta có $g'\left( t \right)=8t-4=0\Leftrightarrow t=\dfrac{1}{2}.$
$g\left( -\dfrac{1}{2} \right)=8,g\left( 1 \right)=5,g\left( \dfrac{1}{2} \right)=4.$ Do đó $\underset{\left[ -\dfrac{1}{2};1 \right]}{\mathop{\min }} g\left( t \right)=4.$ Nên $\left( 3 \right)\Leftrightarrow m<4.$
Vậy $m\in \left( \dfrac{7}{4};4 \right)$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án C.