Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để đoạn $\left[ -\dfrac{2\pi }{3};\dfrac{\pi }{3} \right]$ là tập hợp con của tập nghiệm bất phương...

Để đoạn là tập hợp con của tập nghiệm bất phương trình thì:



$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m>-{{\cos }^{2}}x-4\cos x \\
& m<4{{\cos }^{2}}x-4\cos x+5 \\
\end{aligned} \right.,\forall x\in \left[ -\dfrac{2\pi }{3};\dfrac{\pi }{3} \right]$$\left( 1 \right)t=\cos x.\left\{ \begin{aligned}
& m>-{{t}^{2}}-4t \\
& m<4{{t}^{2}}-4t+5 \\
\end{aligned} \right.,\forall t\in \left[ -\dfrac{1}{2};1 \right].m>-{{t}^{2}}-4t,\forall t\in \left[ -\dfrac{1}{2};1 \right]\Leftrightarrow m>\underset{\left[ -\dfrac{1}{2};1 \right]}{\mathop{\max }} \left( -{{t}^{2}}-4t \right)\text{ }\left( 2 \right)f\left( -\dfrac{1}{2} \right)=\dfrac{7}{4};f\left( -1 \right)=-5.\underset{\left[ -\dfrac{1}{2};1 \right]}{\mathop{\max }} f\left( t \right)=\dfrac{7}{4}.\left( 2 \right)\Leftrightarrow m>\dfrac{7}{4}.m<4{{t}^{2}}-4t+5,\forall t\in \left[ -\dfrac{1}{2};1 \right]\Leftrightarrow m<\underset{\left[ -\dfrac{1}{2};1 \right]}{\mathop{\min }} \left( 4{{t}^{2}}-4t+5 \right)\text{ }\left( 3 \right)f\left( t \right)=4{{t}^{2}}-4t+5,\forall t\in \left[ -\dfrac{1}{2};1 \right].g'\left( t \right)=8t-4=0\Leftrightarrow t=\dfrac{1}{2}.g\left( -\dfrac{1}{2} \right)=8,g\left( 1 \right)=5,g\left( \dfrac{1}{2} \right)=4.\underset{\left[ -\dfrac{1}{2};1 \right]}{\mathop{\min }} g\left( t \right)=4.\left( 3 \right)\Leftrightarrow m<4.m\in \left( \dfrac{7}{4};4 \right)$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.