Google
Câu hỏi: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số ${m}$ để bất phương trình ${4{\left( {{{\log }_2}\sqrt x } \right)^2} + {\log _2}x + m \ge 0}$ nghiệm đúng với mọi giá trị ${x \in \left( {1;64} \right)}$.
A. ${m > 0}$.
B. ${m \ge 0}$.
C. ${m \le 0}$.
D. ${m < 0}$.
A. ${m > 0}$.
B. ${m \ge 0}$.
C. ${m \le 0}$.
D. ${m < 0}$.
Giả sử $f\left( x \right)=4{{\left( {{\log }_{2}}\sqrt{x} \right)}^{2}}+{{\log }_{2}}x+m=\log _{2}^{2}+{{\log }_{2}}x+m$
Đặt $t={{\log }_{2}}x\left( x\in \left( 1;64 \right)\Rightarrow t\in \left( 0;6 \right) \right)\Rightarrow f\left( t \right)={{t}^{2}}+t+m$
Bất phương trình trở thành ${{t}^{2}}+t+m\ge 0\Leftrightarrow m\ge -\left( {{t}^{2}}+t \right),\forall t\in \left( 0;6 \right)\Leftrightarrow m\ge \underset{\left[ 0;6 \right]}{\mathop{\max }} \left[ -\left( {{t}^{2}}+t \right) \right]$
Gọi $g\left( t \right)=-\left( {{t}^{2}}+t \right)\Rightarrow g'\left( t \right)=-\left( 2t+1 \right);g'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=-\dfrac{1}{2}\notin \left[ 0;6 \right]$
Do đó $\underset{\left[ 0;6 \right]}{\mathop{\max }} g\left( t \right)=\max \left\{ g\left( 0 \right);g\left( 6 \right) \right\}=\max \left\{ 0;-42 \right\}=0$
Vậy $m\ge 0.$
Đặt $t={{\log }_{2}}x\left( x\in \left( 1;64 \right)\Rightarrow t\in \left( 0;6 \right) \right)\Rightarrow f\left( t \right)={{t}^{2}}+t+m$
Bất phương trình trở thành ${{t}^{2}}+t+m\ge 0\Leftrightarrow m\ge -\left( {{t}^{2}}+t \right),\forall t\in \left( 0;6 \right)\Leftrightarrow m\ge \underset{\left[ 0;6 \right]}{\mathop{\max }} \left[ -\left( {{t}^{2}}+t \right) \right]$
Gọi $g\left( t \right)=-\left( {{t}^{2}}+t \right)\Rightarrow g'\left( t \right)=-\left( 2t+1 \right);g'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=-\dfrac{1}{2}\notin \left[ 0;6 \right]$
Do đó $\underset{\left[ 0;6 \right]}{\mathop{\max }} g\left( t \right)=\max \left\{ g\left( 0 \right);g\left( 6 \right) \right\}=\max \left\{ 0;-42 \right\}=0$
Vậy $m\ge 0.$
Đáp án B.