Google
Câu hỏi: Tìm tất cả các giá trị thực của mđể giá trị lớn nhất của hàm số $y=\dfrac{{{4}^{\operatorname{s}\text{inx}}}+m{{.6}^{\operatorname{s}\text{inx}}}}{{{9}^{\operatorname{s}\text{inx}}}+{{4}^{1+\operatorname{s}\text{inx}}}}$ không nhỏ hơn $\dfrac{1}{3}$.
A. $m\ge \dfrac{2}{3}$
B. $~~\dfrac{2}{3}\le m\le \dfrac{13}{18}$
C. $m\ge \dfrac{13}{18}$
D. $m>\dfrac{2}{3}$
A. $m\ge \dfrac{2}{3}$
B. $~~\dfrac{2}{3}\le m\le \dfrac{13}{18}$
C. $m\ge \dfrac{13}{18}$
D. $m>\dfrac{2}{3}$
Phương pháp:
+ Chia cả tử và mẫu cho 9 $^{\operatorname{s}\text{inx}}$.
+ Giải bất phương trình y≥ $\dfrac{1}{3}$, sử dụng BĐT Cô-si để đánh giá.
Cách giải:
$y=\dfrac{{{4}^{\operatorname{s}\text{inx}}}+m{{.6}^{\operatorname{s}\text{inx}}}}{{{9}^{\operatorname{s}\text{inx}}}+{{4}^{1+\operatorname{s}\text{inx}}}}={{\dfrac{{{\left( \dfrac{4}{9} \right)}^{\operatorname{s}\text{inx}}}+m\left( \dfrac{2}{3} \right)}{1+4.{{\left( \dfrac{4}{9} \right)}^{\sin x}}}}^{\operatorname{s}\text{inx}}}$
Đặt $t={{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{\sin x}}$ ta có: $-1\le \operatorname{s}\text{inx}\le 1\forall x\Rightarrow \dfrac{3}{2}\ge t\ge \dfrac{2}{3}$
Xét hàm số $y=f\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}+mt}{1+4{{t}^{2}}}$ trên $\left[ \dfrac{2}{3};\dfrac{3}{2} \right]$ ta có:
$y=f\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}+mt}{1+4{{t}^{2}}}\ge \dfrac{1}{3}\Leftrightarrow \dfrac{t+m}{\dfrac{1}{t}+4t}\ge \dfrac{1}{3}$
$\Leftrightarrow 3t+3m\ge \dfrac{1}{t}+4t\Leftrightarrow 3m\ge \dfrac{1}{t}+t\ge 2$ (BDT co – si)
Vậy m≥ $\dfrac{2}{3}$.
+ Chia cả tử và mẫu cho 9 $^{\operatorname{s}\text{inx}}$.
+ Giải bất phương trình y≥ $\dfrac{1}{3}$, sử dụng BĐT Cô-si để đánh giá.
Cách giải:
$y=\dfrac{{{4}^{\operatorname{s}\text{inx}}}+m{{.6}^{\operatorname{s}\text{inx}}}}{{{9}^{\operatorname{s}\text{inx}}}+{{4}^{1+\operatorname{s}\text{inx}}}}={{\dfrac{{{\left( \dfrac{4}{9} \right)}^{\operatorname{s}\text{inx}}}+m\left( \dfrac{2}{3} \right)}{1+4.{{\left( \dfrac{4}{9} \right)}^{\sin x}}}}^{\operatorname{s}\text{inx}}}$
Đặt $t={{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{\sin x}}$ ta có: $-1\le \operatorname{s}\text{inx}\le 1\forall x\Rightarrow \dfrac{3}{2}\ge t\ge \dfrac{2}{3}$
Xét hàm số $y=f\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}+mt}{1+4{{t}^{2}}}$ trên $\left[ \dfrac{2}{3};\dfrac{3}{2} \right]$ ta có:
$y=f\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}+mt}{1+4{{t}^{2}}}\ge \dfrac{1}{3}\Leftrightarrow \dfrac{t+m}{\dfrac{1}{t}+4t}\ge \dfrac{1}{3}$
$\Leftrightarrow 3t+3m\ge \dfrac{1}{t}+4t\Leftrightarrow 3m\ge \dfrac{1}{t}+t\ge 2$ (BDT co – si)
Vậy m≥ $\dfrac{2}{3}$.
Đáp án A.