The Collectors

Tìm tất cả các giá trị thực của $m$ để hàm số $y=\dfrac{{{x}^{7}}}{42}+mx-\dfrac{1}{12{{x}^{3}}}+1$ đồng biến trên $\left( 0;+\infty...

Câu hỏi: Tìm tất cả các giá trị thực của $m$ để hàm số $y=\dfrac{{{x}^{7}}}{42}+mx-\dfrac{1}{12{{x}^{3}}}+1$ đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$ ?
A. $m\le 0$.
B. $m\le \dfrac{1}{2}$.
C. $m\ge -\dfrac{5}{12}$.
D. $m\ge \sqrt{3}$.
$y=\dfrac{{{x}^{7}}}{42}+mx-\dfrac{1}{12{{x}^{3}}}+1$ đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$ khi và chỉ khi:
$\begin{aligned}
& y'=\dfrac{1}{6}{{x}^{6}}+m+\dfrac{1}{4{{x}^{4}}}\ge 0,\forall x\in \left( 0;+\infty \right) \\
& \Leftrightarrow \dfrac{1}{6}{{x}^{6}}+\dfrac{1}{4{{x}^{4}}}\ge -m,\forall x\in \left( 0;+\infty \right) \\
& \Leftrightarrow \underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\min }} f(x)\ge -m\text{ v }\!\!\acute{\mathrm{i}}\!\!\text{ i }f(x)=\dfrac{1}{6}{{x}^{6}}+\dfrac{1}{4{{x}^{4}}}. \\
\end{aligned}$.
Vì $\dfrac{1}{6}{{x}^{6}}+\dfrac{1}{4{{x}^{4}}}=\dfrac{1}{12}{{x}^{6}}+\dfrac{1}{12}{{x}^{6}}+\dfrac{1}{12{{x}^{4}}}+\dfrac{1}{12{{x}^{4}}}+\dfrac{1}{12{{x}^{4}}}\ge \dfrac{5}{12},\forall x\in \left( 0;+\infty \right)\Rightarrow \underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\min }} f(x)=\dfrac{5}{12}$
Nên hàm số đã cho đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$ thì điều kiện là:
$\underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\min }} f(x)\ge -m\Leftrightarrow \dfrac{5}{12}\ge -m\Leftrightarrow m\ge -\dfrac{5}{12}$.
Đáp án C.
 

Câu hỏi này có trong đề thi

Quảng cáo

Back
Top