Tìm tất cả các giá trị thực của $m$ để hàm số $y = \frac{x^{7}}{42} + m x - \frac{1}{12 x^{3}} + 1$ đồng biến trên $\left( 0;+\infty...

The Collectors · 31/5/21

Câu hỏi: Tìm tất cả các giá trị thực của

m

để hàm số

y = \frac{x^{7}}{42} + m x - \frac{1}{12 x^{3}} + 1

đồng biến trên

(0; + \infty)

?
A.

m \leq 0

.
B.

m \leq \frac{1}{2}

.
C.

m \geq - \frac{5}{12}

.
D.

m \geq \sqrt{3}

.

y = \frac{x^{7}}{42} + m x - \frac{1}{12 x^{3}} + 1

đồng biến trên

(0; + \infty)

khi và chỉ khi:

\begin{aligned} y^{'} = \frac{1}{6} x^{6} + m + \frac{1}{4 x^{4}} \geq 0, \forall x \in (0; + \infty) \\ \Leftrightarrow \frac{1}{6} x^{6} + \frac{1}{4 x^{4}} \geq - m, \forall x \in (0; + \infty) \\ \Leftrightarrow min_{(0; + \infty)} f (x) \geq - m v \overset{´}{i} i f (x) = \frac{1}{6} x^{6} + \frac{1}{4 x^{4}} . \end{aligned}

.
Vì

\frac{1}{6} x^{6} + \frac{1}{4 x^{4}} = \frac{1}{12} x^{6} + \frac{1}{12} x^{6} + \frac{1}{12 x^{4}} + \frac{1}{12 x^{4}} + \frac{1}{12 x^{4}} \geq \frac{5}{12}, \forall x \in (0; + \infty) \Rightarrow min_{(0; + \infty)} f (x) = \frac{5}{12}

Nên hàm số đã cho đồng biến trên

(0; + \infty)

thì điều kiện là:

min_{(0; + \infty)} f (x) \geq - m \Leftrightarrow \frac{5}{12} \geq - m \Leftrightarrow m \geq - \frac{5}{12}

.

Đáp án C.

Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số y=x742+mx−112x3+1 đồng biến trên $\left( 0;+\infty...