Google
Câu hỏi: Tìm tất cả các giá trị thực của $a$ sao cho phương trình ${{z}^{2}}-az+2a-{{a}^{2}}=0$ có hai nghiệm phức có môđun bằng 1.
A. $a=-1$.
B. $a=1$.
C. $a=\pm 1$.
D. $a=\dfrac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$.
A. $a=-1$.
B. $a=1$.
C. $a=\pm 1$.
D. $a=\dfrac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$.
Gọi ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ là hai nghiệm của phương trình ${{z}^{2}}-az+2a-{{a}^{2}}=0$. Ta có $\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|=1$.
Theo định lí Viét, ta có ${{z}_{1}}{{z}_{2}}=2a-{{a}^{2}}$.
Lấy mô đun hai vế có $\left| {{z}_{1}}{{z}_{2}} \right|=\left| 2a-{{a}^{2}} \right|\Leftrightarrow \left| {{z}_{1}} \right|.\left| {{z}_{2}} \right|=\left| 2a-{{a}^{2}} \right|\Rightarrow \left| 2a-{{a}^{2}} \right|=1$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 2a-{{a}^{2}}=1 \\
& 2a-{{a}^{2}}=-1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& -{{a}^{2}}+2a-1=0 \\
& -{{a}^{2}}+2a+1=0 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a=1 \\
& a=1\pm \sqrt{2} \\
\end{aligned} \right.$.
Với $a=1$ có phương trình thành ${{z}^{2}}-z+1=0\Leftrightarrow z=\dfrac{1\pm i\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \left| z \right|=1$ $\Rightarrow a=1$ thỏa mãn.
Với $a=1+\sqrt{2}$ có phương trình thành ${{z}^{2}}-\left( 1+\sqrt{2} \right)z-1=0\Leftrightarrow z=\dfrac{1+\sqrt{2}\pm \sqrt{7+2\sqrt{2}}}{2}$.
$\Rightarrow a=1+\sqrt{2}$ không thỏa mãn.
Với $a=1-\sqrt{2}$ có phương trình thành ${{z}^{2}}-\left( 1-\sqrt{2} \right)z-1=0\Leftrightarrow z=\dfrac{1-\sqrt{2}\pm \sqrt{7-2\sqrt{2}}}{2}$.
$\Rightarrow a=1-\sqrt{2}$ không thỏa mãn. Vậy $a=1$.
Theo định lí Viét, ta có ${{z}_{1}}{{z}_{2}}=2a-{{a}^{2}}$.
Lấy mô đun hai vế có $\left| {{z}_{1}}{{z}_{2}} \right|=\left| 2a-{{a}^{2}} \right|\Leftrightarrow \left| {{z}_{1}} \right|.\left| {{z}_{2}} \right|=\left| 2a-{{a}^{2}} \right|\Rightarrow \left| 2a-{{a}^{2}} \right|=1$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 2a-{{a}^{2}}=1 \\
& 2a-{{a}^{2}}=-1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& -{{a}^{2}}+2a-1=0 \\
& -{{a}^{2}}+2a+1=0 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a=1 \\
& a=1\pm \sqrt{2} \\
\end{aligned} \right.$.
Với $a=1$ có phương trình thành ${{z}^{2}}-z+1=0\Leftrightarrow z=\dfrac{1\pm i\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \left| z \right|=1$ $\Rightarrow a=1$ thỏa mãn.
Với $a=1+\sqrt{2}$ có phương trình thành ${{z}^{2}}-\left( 1+\sqrt{2} \right)z-1=0\Leftrightarrow z=\dfrac{1+\sqrt{2}\pm \sqrt{7+2\sqrt{2}}}{2}$.
$\Rightarrow a=1+\sqrt{2}$ không thỏa mãn.
Với $a=1-\sqrt{2}$ có phương trình thành ${{z}^{2}}-\left( 1-\sqrt{2} \right)z-1=0\Leftrightarrow z=\dfrac{1-\sqrt{2}\pm \sqrt{7-2\sqrt{2}}}{2}$.
$\Rightarrow a=1-\sqrt{2}$ không thỏa mãn. Vậy $a=1$.
Đáp án B.