Google
Câu hỏi: Tìm tất cả các giá trị củam để hàm số $y={{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}+1$ có 3 cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4
A. $\sqrt[5]{4}$.
B. $\sqrt[5]{8}$.
C. $\sqrt[5]{2}$.
D. $\sqrt[5]{16}$.
A. $\sqrt[5]{4}$.
B. $\sqrt[5]{8}$.
C. $\sqrt[5]{2}$.
D. $\sqrt[5]{16}$.
Phương pháp:
- Lấy đạo hàm của hàm số rồi tìm các điểm cực trị A, B, C của đồ thị hàm số.
- Nhận xét: Ba điểm cực trị của hàm trùng phương luôn tạo thành tam giác cân (giả sử cân tại A)
- Gọi H là trung điểm của BC, chứng minh AH⊥ BC.
- Tính AH, BC, sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng $AB=\sqrt{{{\left( {{x}_{B}}-{{x}_{A}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{B}}-{{y}_{A}} \right)}^{2}}}~$
- Sử dụng công thức tính diện tích tam giác ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}AH.BC.~$
Cách giải:
TXĐ: D= $\mathbb{R}$
Ta có $y'=4{{x}^{3}}-4mx=4x\left( {{x}^{2}}-m \right).~$
Cho $y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& {{x}^{2}}=m\left( 1 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Để hàm số đã cho có 3 điểm cực trị thì phương trình y' = 0 phải có 3 nghiệm phân biệt, khi đó phương trình (1) phải có 2 nghiệm phân biệt khác $0\Rightarrow m>0$.
= Khi đó ta có $y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0\Rightarrow y=1 \\
& x=\sqrt{m}\Rightarrow y=-{{m}^{2}}+1 \\
& x=-\sqrt{m}\Rightarrow y=-{{m}^{2}}+1 \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra đồ thị hàm số đã cho có 3 điểm cực trị là $A\left( 0;1 \right);B\left( \sqrt{m};1-{{m}^{2}} \right);C\left( -\sqrt{m};1-{{m}^{2}} \right)$.
Dễ thấy A∈ Oy, Bvà Cđối xứng nhau qua Oy, do đó tam giác ABCcân tại A.
Gọi Hlà trung điểm của $BC\Rightarrow H\left( 0;1-{{m}^{2}} \right)$ và AH⊥ BC(tính chất tam giác cân).
Ta tính được: $AH=\sqrt{{{\left( 0-0 \right)}^{2}}+{{\left( 1-{{m}^{2}}-1 \right)}^{2}}}={{m}^{2}}$, $BC=\sqrt{{{\left( \sqrt{m}+\sqrt{m} \right)}^{2}}+{{\left( 1-{{m}^{2}}-1+{{m}^{2}} \right)}^{2}}}=2\sqrt{m}~$
Theo bài ra ta có: ${{S}_{ABC}}=4\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}AH.BC=4\Leftrightarrow AH.BC=8.~$
$\Leftrightarrow {{m}^{2}}.2\sqrt{m}=8\Leftrightarrow {{\left( {{m}^{2}}\sqrt{m} \right)}^{2}}={{4}^{2}}\Leftrightarrow {{m}^{5}}=16\Leftrightarrow m=\sqrt[5]{16}\left( tm \right).$
Vậy $m=\sqrt[5]{16}$
- Lấy đạo hàm của hàm số rồi tìm các điểm cực trị A, B, C của đồ thị hàm số.
- Nhận xét: Ba điểm cực trị của hàm trùng phương luôn tạo thành tam giác cân (giả sử cân tại A)
- Gọi H là trung điểm của BC, chứng minh AH⊥ BC.
- Tính AH, BC, sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng $AB=\sqrt{{{\left( {{x}_{B}}-{{x}_{A}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{B}}-{{y}_{A}} \right)}^{2}}}~$
- Sử dụng công thức tính diện tích tam giác ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}AH.BC.~$
Cách giải:
TXĐ: D= $\mathbb{R}$
Ta có $y'=4{{x}^{3}}-4mx=4x\left( {{x}^{2}}-m \right).~$
Cho $y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& {{x}^{2}}=m\left( 1 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Để hàm số đã cho có 3 điểm cực trị thì phương trình y' = 0 phải có 3 nghiệm phân biệt, khi đó phương trình (1) phải có 2 nghiệm phân biệt khác $0\Rightarrow m>0$.
= Khi đó ta có $y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0\Rightarrow y=1 \\
& x=\sqrt{m}\Rightarrow y=-{{m}^{2}}+1 \\
& x=-\sqrt{m}\Rightarrow y=-{{m}^{2}}+1 \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra đồ thị hàm số đã cho có 3 điểm cực trị là $A\left( 0;1 \right);B\left( \sqrt{m};1-{{m}^{2}} \right);C\left( -\sqrt{m};1-{{m}^{2}} \right)$.
Dễ thấy A∈ Oy, Bvà Cđối xứng nhau qua Oy, do đó tam giác ABCcân tại A.
Gọi Hlà trung điểm của $BC\Rightarrow H\left( 0;1-{{m}^{2}} \right)$ và AH⊥ BC(tính chất tam giác cân).
Ta tính được: $AH=\sqrt{{{\left( 0-0 \right)}^{2}}+{{\left( 1-{{m}^{2}}-1 \right)}^{2}}}={{m}^{2}}$, $BC=\sqrt{{{\left( \sqrt{m}+\sqrt{m} \right)}^{2}}+{{\left( 1-{{m}^{2}}-1+{{m}^{2}} \right)}^{2}}}=2\sqrt{m}~$
Theo bài ra ta có: ${{S}_{ABC}}=4\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}AH.BC=4\Leftrightarrow AH.BC=8.~$
$\Leftrightarrow {{m}^{2}}.2\sqrt{m}=8\Leftrightarrow {{\left( {{m}^{2}}\sqrt{m} \right)}^{2}}={{4}^{2}}\Leftrightarrow {{m}^{5}}=16\Leftrightarrow m=\sqrt[5]{16}\left( tm \right).$
Vậy $m=\sqrt[5]{16}$
Đáp án D.