Tìm tất cả các giá trị của tham số thực $m$ sao cho đồ thị hàm số $y=\dfrac{x-1}{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+m+1}$ có đúng một tiệm cận đứng.

Phương pháp:
- Tìm điều kiện để mẫu số có nghiệm duy nhất khác 1 hoặc có 2 nghiệm trở lên trong đó có duy nhất 1 nghiệmkhác 1.
- Xét phương trình mẫu số, cô lập $m$ và sử dụng phương pháp tương giao đồ thị hàm số.
Cách giải:
Xét phương trình ${{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+m+1=0\left( * \right)$
TH1: $x=1$ là nghiệm của $\left( * \right)\Rightarrow 5+m=0\Leftrightarrow m=-5.$
Khi đó ta có $y=\dfrac{x-1}{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-4}=\dfrac{x-1}{\left( x-1 \right){{\left( x+2 \right)}^{2}}}=\dfrac{1}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}},$ khi đó đồ thị có TCĐ $x=-2.$
$\Rightarrow m=-5$ thỏa mãn.
TH2: $x=1$ không là nghiệm của (*), khi đó để đồ thị đã cho có đúng 1 TCĐ thì (*) có nghiệm duy nhất khác 1.
Ta có $\left( * \right)\Leftrightarrow m=-{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-1=f\left( x \right).$
Xét hàm số $f\left( x \right)=-{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-1$ ta có $f'\left( x \right)=-3{{x}^{2}}-6x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=-2 \\
\end{aligned} \right..$
BBT:

Dựa vào BBT ta thấy $m=f\left( x \right)$ có nghiệm duy nhất khác 1 khi $\left[ \begin{aligned}
& m>-1 \\
& m<-5 \\
\end{aligned} \right..$
Kết hợp 2 TH ta có $\left[ \begin{aligned}
& m\le 5 \\
& m>-1 \\
\end{aligned} \right..$