Tìm tất cả các giá trị của tham số mđể đồ thị hàm số...

Phương pháp:
- Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị.
- Xác định các điểm cực trị của hàm số.
- Sử dụng công thức tính diện tích tam giác S= prtrong đó plà nửa chu vi tam giác, rlà bán kính đường tròn nội tiếp tam giác.
Cách giải:
TXĐ: $D=~\mathbb{R}$

Ta có: $y'=4{{x}^{3}}-4mx=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& {{x}^{2}}=m\left( * \right) \\
\end{aligned} \right.$
Để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị thì phương trình y' = 0 có 3 nghiệm phân biệt, suy ra phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác $0\Rightarrow m>0.~$
Khi đó ta có $y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0\Rightarrow y=m \\
& x=\sqrt{m}\Rightarrow y=-{{m}^{2}}+m \\
& x=-\sqrt{m}\Rightarrow y=-{{m}^{2}}+m \\
\end{aligned} \right.$
⇒ Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị $A\left( 0;m \right),B\left( \sqrt{m};-{{m}^{2}}+m \right),C\left( -\sqrt{m};-{{m}^{2}}+m \right).~$
Dễ nhận thấy $\Delta ABC$ cân tại A.
Phương trình đường thẳng BClà: $y=-{{m}^{2}}+m\Leftrightarrow y+{{m}^{2}}-m=0.~$
$\Rightarrow d\left( A;BC \right)=\dfrac{\left| m+{{m}^{2}}-m \right|}{\sqrt{{{0}^{2}}+{{1}^{2}}}}={{m}^{2}};BC=\sqrt{{{\left( -2\sqrt{m} \right)}^{2}}}=2\sqrt{m}$
⇒ ${{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}d\left( A;BC \right).BC=\dfrac{1}{2}.{{m}^{2}}.2\sqrt{m}=\sqrt{{{m}^{5}}}~$
Gọi rlà bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC, plà nửa chu vi tam giác ABC.
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& AB=AC=\sqrt{{{\left( \sqrt{m} \right)}^{2}}+{{\left( -{{m}^{2}} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{m}^{4}}+m} \\
& BC=2\sqrt{m} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow p=\sqrt{{{m}^{4}}+m}+\sqrt{m}$
$\Rightarrow r=\dfrac{{{S}_{ABC}}}{p}=\dfrac{\sqrt{{{m}^{5}}}}{\sqrt{{{m}^{4}}+m}+\sqrt{m}}$
Theo bài ra ta có:
$\dfrac{\sqrt{{{m}^{5}}}}{\sqrt{{{m}^{4}}+m}+\sqrt{m}}>1$
Do m> 0 nên loại đáp án A và C.
Chọn m= 3 : $>1$, do đó m= 3 thỏa mãn.
Vậy m> 2 là đáp án đúng.