Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt: $\left({{x}^{4}}+1 \right){{3}^{{{x}^{4}}-{{\left( x+m...

Ta có $\left( {{x}^{4}}+1 \right){{3}^{{{x}^{4}}-{{\left( x+m \right)}^{2}}}}={{x}^{2}}+2mx+{{m}^{2}}+1\Leftrightarrow \left( {{x}^{4}}+1 \right)\dfrac{{{3}^{{{x}^{4}}+1}}}{{{3}^{{{\left( x+m \right)}^{2}}+1}}}={{\left( x+m \right)}^{2}}+1$.
$\Leftrightarrow \left( {{x}^{4}}+1 \right){{3}^{{{x}^{4}}+1}}=\left[ {{\left( x+m \right)}^{2}}+1 \right]{{3}^{{{\left( x+m \right)}^{2}}+1}}$.
● Xét hàm số $f\left( t \right)=t{{.3}^{t}}$, $t\in \left( 0;+\infty \right)$. Ta có $f'\left( t \right)={{3}^{t}}+t{{.3}^{t}}.\ln 3>0, \forall t\in \left( 0;+\infty \right)$,
Suy ra ${{x}^{4}}+1={{\left( x+m \right)}^{2}}+1\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
{{x}^{2}}=x+m \\
{{x}^{2}}=-x-m \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
{{x}^{2}}-x-m=0 \left( 1 \right) \\
{{x}^{2}}+x+m=0 \left( 2 \right) \\
\end{matrix} \right.$.
Phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi hai phương trình $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ đều
có hai nghiệm phân biệt và không có nghiệm chung.
Phương trình $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm phân biệt khi ${{\Delta }_{1}}=1+4m>0\Leftrightarrow m>-\dfrac{1}{4}$.
Phương trình $\left( 2 \right)$ có hai nghiệm phân biệt khi ${{\Delta }_{2}}=1-4m>0\Leftrightarrow m<\dfrac{1}{4}$.
Giả sử ${{x}_{0}}$ là nghiệm chung của phương trình $\left( 1 \right)$ và phương trình $\left( 2 \right)$, khi đó
$x_{0}^{2}-{{x}_{0}}=m=-x_{0}^{2}-{{x}_{0}}\Leftrightarrow {{x}_{0}}=0$. Suy ra $m=0$ thì phương trình $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ có nghiệm chung.
Vậy giá trị $m$ cần tìm là $m\in \left( -\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{4} \right)\backslash \left\{ 0 \right\}$.